一种测定材料与构件疲劳S-N曲线性能的单点法

摘要

一种测定材料与构件疲劳S-N曲线性能的单点法，该方法有三大步骤：步骤一、随机化三参数疲劳S-N曲线；步骤二、利用极大似然原理列出方程组；步骤三、求解方程组。本发明简单实用，只需要进行少量试样的单点试验，大大减少了试样数，无需进行成组试验，能满足工程上期待的小子样数据的要求。本发明在测试技术领域里具有较好的实用价值和广阔地应用前景。

主权项

一种测定材料与构件疲劳S‑N曲线性能的单点法，其特征在于：该方法具体步骤如下：步骤一、随机化三参数疲劳S‑N曲线疲劳S‑N曲线的三参数幂函数式为N(S‑S₀)^m＝C (1)对式(1)随机化，并取自然对数，变换后，获得lnN＝lnC‑m·ln(S‑S₀)+lnW(S) (2)再令Y＝lnN，b₁＝lnC，b₂＝‑m，X＝ln(S‑S₀)，Z(S)＝lnW(S)，则式(2)变为Y＝b₁+b₂X+Z(S) (3)式(3)即为疲劳S‑N曲线的三参数幂函数式的对数正态模型，其中Z(S)为依赖于疲劳应力水平S对数正态随机变量，其均值和标准差分别为0和σ(S)；通常假定σ(S)与对数疲劳应力lnS存在线性关系，即σ(S)＝c+d·lnS (4)令σ(S)在疲劳应力处的取值为σ₀，则式(4)变为σ(S)＝hσ₀ (5)其中，h＝1+g(lnS‑y₀)，g＝d/σ₀；式中符号说明如下：S为疲劳应力水平，S₀为材料常数，N为疲劳寿命，n为样本数目，m、C、c、d均为常数；步骤二、极大似然方程组的建立由式(3)可知，随机变量Y服从正态分布其对数似然函数写为$\ln L=-n\ln {\sigma }_0-\frac{n}{2}\ln \left(2\pi \right)-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\ln h_i-\frac{1}{2{\sigma }_0^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{{(y_i-b_1-b_2{x}_i)}^2}{h_i^2}---\left(6\right)$根据极大似然原理，由式(6)导出$\frac{\partial \ln L}{\partial b_1}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{y_i}{h_i^2}-b_1\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{1}{h_i^2}-b_2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i}{h_i^2}=0---\left(7\right)$$\frac{\partial \ln L}{\partial b_2}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i{y}_i}{h_i^2}-b_1\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i}{h_i^2}-b_2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i^2}{h_i^2}=0---\left(8\right)$$\frac{\partial \ln L}{\partial {\sigma }_0}=n{\sigma }_0^2-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{{(y_i-b_1-b_2{x}_i)}^2}{h_i^2}=0---\left(9\right)$$\frac{\partial \ln L}{\partial S_0}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{y_i-b_1-b_2{x}_i}{(S-S_0)h_i^2}=0---\left(10\right)$$\frac{\partial \ln L}{\partial g}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}[\frac{\ln (S_i-y_0)}{h_i}·\frac{{\sigma }_0^2{h}_i^2-{(y_i-b_1-b_2{x}_i)}^2}{{\sigma }_0^2{h}_i^2}]=0---\left(11\right)$式中符号说明如下：L为似然函数，b₁、b₂为待定常数；步骤三、方程组求解解方程式(7)至式(9)，获得$b_1=\bar{y}-b_2\bar{x}---\left(12\right)$$b_2=\frac{L_{\mathrm{xy}}}{L_{\mathrm{xx}}}---\left(13\right)$${\sigma }_0=\sqrt{\frac{Q}{n}}---\left(14\right)$其中$\bar{x}=\frac{1}{m_0}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i}{h_i^2}---\left(15\right)$$\bar{y}=\frac{1}{m_0}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{y_i}{h_i^2}---\left(16\right)$$Q=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{{(y_i-b_1-b_2{x}_i)}^2}{h_i^2}---\left(17\right)$$m_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{1}{h_i^2}---\left(18\right)$$L_{\mathrm{xx}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i^2}{h_i^2}-\frac{1}{m_0}{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i}{h_i^2}\right)}^2---\left(19\right)$$L_{\mathrm{xy}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i{y}_i}{h_i^2}-\frac{1}{m_0}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{x_i}{h_i^2}\right)\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{y_i}{h_i^2}\right)---\left(20\right)$由式(12)至式(14)看出，待定参数b₁，b₂和σ₀均为参数g和S₀的二元函数，因此，需要先通过数值求解方程组(10)和(11)，获得g和S₀的解，再确定b₁，b₂和σ₀，最终求得疲劳S‑N曲线参数C和m，得到疲劳S‑N曲线。