一种基于直接投影和变分分析的非线性电路模型降阶方法

摘要

模型降阶技术是一类非常有效的提高电路模拟和验证速度的技术，以便对电路的设计方案及时加以改进。本发明建立了一种直接投影的非线性电路模型降阶方法。其特征在于采用直接投影和变分分析相结合的方法，利用控制理论中的变分分析得到的子系统构建子投影矩阵V₁，V₂，…，V_n，然后利用原系统与子系统之间的关系构建统一的投影矩阵V。用此统一的投影矩阵V实现对原非线性系统的一个近似非线性系统的直接投影。相对文献[1]中的分别对子系统进行降阶的方法，降阶的精度和降阶的效率都大大提高。

主权项

1、一种非线性电路模型的降阶方法，该非线性电路的状态方程具有如下形式： $E\stackrel{·}{x}\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)$ $y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)+\mathrm{Du}\left(t\right)---\left(1\right)$其中，x(t)为电路的N维状态变量，f(x(t))是关于状态变量x(t)的非线性向量值函数，简记为f(x)，f(x(t))和矩阵E∈R^N×N，u(t)∈R^l，是进入电路的输入信号变量，l表示电路中输入端口的数目，矩阵B∈R^N×l，与进入电路的输入信号变量有关，y(t)∈R^s，为描述电路的输出信号的变量，s是输出端口的数目，矩阵C∈R^s×N、D^s×l分别描述状态变量、输入信号与输出信号之间的关系，“”是向量或矩阵之间的一种乘积运算符，其特征在于采用直接投影和变分分析相结合的方法，具体步骤如下：第一步，把f(x)用Taylor级数展开，然后用级数的前n项逼近f(x)： $f\left(x\right)\approx A_{1}x+A_2(x\otimes x)+...+A_n{x}^{\left(n\right)}--\left(8\right)$这里， $A_1=\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x},A_2=\frac{{\partial }^{2}f\left(x\right)}{{\partial x}^2},A_3=\frac{{\partial }^{3}f\left(x\right)}{{\partial x}^3},...,A_n=\frac{{\partial }^{n}f\left(x\right)}{{\partial x}^n},$即分别对应f(x)关于状态变量的各阶导数矩阵，n取2、3或4。第二步：用f(x)的Taylor近似(8)逼近原来非线性系统(1)，得到近似的系统(9)： $\stackrel{·}{x}=A_{1}x+A_2(x\otimes x)+...+A_n{x}^{\left(n\right)}+\mathrm{Bu}\left(t\right)--\left(9\right)$第三步：构建一个统一的映射矩阵V(1)、构建矩阵V₁，V₁中的列向量由下面的向量经正交化处理后得到： ${A_1}^{-1}B,{A_1}^{-2}B,{A_1}^{-3}B,...,{A_1}^{-j_1}B--\left(11\right)$其中，j₁满足，q₁≤j₁c_B， $q_1\le \frac{3}{4}q,$q₁是V₁中列向量的个数，q是最后希望的降阶系统的阶数，c_B指的是矩阵B中列向量的个数；(2)、构建矩阵V₂，V₂中的列向量由下面的向量经正交化处理后得到： ${A_1}^{-1}{A}_2,{A_1}^{-2}{A}_2,{A_1}^{-3}{A}_{2,}...,{A_1}^{{-j}_2}{A}_2--\left(15\right)$j₂的确定方法同j₁；(3)、构建矩阵V₃，V₃中的列向量由下面的向量经正交化处理后得到： $A^{-1}{B}_3,A^{-2}{B}_3,A^{-3}{B}_3,...,A^{{-j}_3}{B}_3$其中， $A=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ $B_3=\left[\begin{array}{cc}{A}_2& A_3\\ 0& 0\end{array}\right]$j₃的确定方法同j₁；(4)、构建矩阵V₄，方法同V₃的构建；(5)、计算V₁，V₂，...，V_n的并集： $\hat{V}=V_1\cup V_2\cup ...\cup V_n,$再构建V：V中的列向量由中所有列向量经正交化处理后得到；第四步：直接对近似的非线性系统(9)进行投影降阶，首先做近似的变量替换x＝Vz，得到 $V\stackrel{·}{z}=A_1\mathrm{Vz}+A_2(\mathrm{Vz}\otimes \mathrm{Vz})+···+A_n{\left(\mathrm{Vz}\right)}^{\left(n\right)}+\mathrm{Bu}\left(t\right)--\left(17\right)$两边分别乘V^T后得到 $\stackrel{·}{z}=V^T{A}_1\mathrm{Vz}+V^T{A}_2(\mathrm{Vz}\otimes \mathrm{Vz})+···+V^T{A}_n{\left(\mathrm{Vz}\right)}^{\left(n\right)}+V^T\mathrm{Bu}\left(t\right)--\left(18\right)$