非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形设计

摘要

本发明属于信号处理领域，涉及非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形优化的设计。其实现方法是，首先建立杂波场景下MIMO雷达接收信号模型，基于此模型推导需估计参数克拉美罗界(CRB)，而后将初始参数估计不确定性凸集显式包含进波形优化问题，建立稳健波形优化模型；关于优化变量非常复杂的非线性问题，难以利用传统优化方法求解，本发明提出一种基于Hadamard不等式方法以求解此问题，可将此复杂问题转化为半定规划(SDP)问题，从而获得高效求解。与不相关发射波形以及非稳健方法相比，本发明可显著改善最差条件下参数估计性能，具有较好的稳健性，因而更贴近工程应用。

主权项

非确知目标先验知识条件下MIMO雷达稳健波形设计方法，其特征在于，包括如下步骤：1)建立稳健波形优化问题模型(1)构建MIMO雷达信号模型:假设MIMO雷达接收信号：$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S+W$其中，为发射波形矩阵，为第i个发射单元发射信号的离散基带表示，且采样数为L，和分别为K个感兴趣目标的与RCS成比例的复幅度以及目标位置参数，二者皆需基于接收数据估计得到，W为噪声加干扰矩阵，其每列可建模为独立同分布的圆对称复高斯随机向量，其均值为0，协方差矩阵为未知矩阵Q，H_k＝a(θ_k)v^T(θ_k)表示第k个目标信道矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示位于θ_k的目标的接收和发射导向矢量，可表述为：$a\left({\theta }_k\right)={[e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tau }_{M_r}\left({\theta }_k\right)}]}^T$$v\left({\theta }_k\right)={[e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\pi f}}_0{\tilde{\tau }}_{M_t}\left({\theta }_k\right)}]}^T$式中，f₀表示载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r为电磁波从位于θ_k的目标到第m个接收阵元的传输时间，而则为从第n个发射阵元到此目标的传输时间；(2)CRB推导考虑已知条件下未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T的CRB，constrained CRB可表示为：C_CCRB＝U(U^HFU)^‑1U^H式中，U满足G(x)U(x)＝0,U^H(x)U(x)＝IF为关于的Fisher信息矩阵(FIM)，幅度矩阵β＝diag(β₁，β₂，…，β_K)已知，具有如下形式G＝[0_2K×K,I_2K×2K]，对应的零空间U可表示为U＝[I_K×K 0_K×2K]^H，关于x的FIM的计算如下：$F\left(x_i,x_j\right)=2\mathrm{Re}\left\{tr\left[\frac{\partial {\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S\right)}^H}{\partial x_i}{Q}^{-1}\frac{\partial \left(\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S\right)}{\partial x_j}\right]\right\}$则$\begin{array}{c}F({\theta }_i,{\theta }_j)=2\mathrm{Re}\left\{tr\right[\frac{\partial {\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S\right)}^H}{\partial {\theta }_i}{Q}^{-1}\frac{\partial \left(\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{H}_{k}S\right)}{\partial {\theta }_j}\left]\right\}\\ =2\mathrm{Re}tr\left[{\beta }_i^{*}{\beta }_j{\stackrel{·}{H}}_i^H{Q}^{-1}{\stackrel{·}{H}}_j{R}_S\right]\end{array}$因此，F(θ,θ)＝2Re(F₁₁)，F^T(β_R,θ)＝F(θ,β_R)＝2Re(F₁₂)F^T(β_I,θ)＝F(θ,β_I)＝‑2Im(F₁₂)F(β_R,β_R)＝F(β_I,β_I)＝2Re(F₂₂)F(β_R,β_I)＝F^T(β_I,β_R)＝‑2Im(F₂₂)式中，基于以上讨论，关于x的FIM F可表示如下$F=2\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right]$代入上述各式，得到$C_{CCRB}=\left[\begin{array}{cc}{C}_{11}& 0_{K\times 2K}\\ 0_{2K\times K}& 0_{2K\times 2K}\end{array}\right]$(3)构建基于CRB的稳健波形优化模型设目标信道矩阵的导数不确定但属于某一凸紧支集，可建模为：${\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k={\stackrel{·}{H}}_k+{\stackrel{·}{\delta }}_k,k=1,2,...,K$误差属于如下凸紧支集合：基于以上建模，改善最差条件下参数估计性能的稳健波形设计问题可简述如下：$\begin{array}{ccc}\underset{R_S}{min}& \underset{{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{max}& tr\left(C_{CCRB}\right)\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& {\stackrel{·}{\delta }}_k\in u\end{array}$tr(R_S)＝LPR_S≥02)稳健波形优化问题的求解根据Hadamard不等式，上述优化问题中的最大化问题可松弛为：$\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{max}& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\left(2\right|{\beta }_k{|}^{2}tr\left[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k^H{Q}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k{R}_S\right])}^{-1}\end{array}$从上式可知，第k个相加项仅依赖于因此，该式等价于在对应约束下最大化相加的每一项，即此问题可表示为如下K个相互独立的问题：$\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_k}{max}& {\left(2\right|{\beta }_k{|}^{2}tr\left[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k^H{Q}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_k{R}_S\right])}^{-1}\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k|{|}_F\le {\sigma }_k\end{array}$注意到上式中的待优化参数为复数，为了将此问题表述为凸问题，将此问题转化为如下关于实数的问题：$\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{max}& {\left(\right|{\beta }_k{|}^{2}tr\left[{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}{R}_{R,S}\right])}^{-1}\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}|{|}_F\le {\gamma }_k\end{array}$式中，Q_x＝Re(Q),Q_y＝Im(Q)，由于Q_R为正定矩阵，且为关于的函数，则上述优化问题可等价为：$\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k},t}{min}& t\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& T^T{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}T\le tI\end{array}$$\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}|{|}_F\le {\gamma }_k$式中，t为辅助变量；基于Schur补定理，对上述优化问题中的两个约束条件进行重写，分别为：$\left[\begin{array}{ccc}tI& T^T{\stackrel{·}{H}}_{R,k}^T& -{\mathrm{\gamma T}}^T\\ {\stackrel{·}{H}}_{R,k}T& {\bar{Q}}_R-\eta I& 0\\ -\gamma T& 0& \eta I\end{array}\right]\ge 0$$\left[\begin{array}{cc}2LP& T^T\\ T& I\end{array}\right]\ge 0$式中，η≥0；基于以上所述，最终将步骤1中的优化问题转化为如下的SDP问题：$\begin{array}{cc}\underset{T,t,\eta }{min}& t\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& \left[\begin{array}{ccc}tI& T^T{\stackrel{·}{H}}_{R,k}^T& -{\mathrm{\gamma T}}^T\\ {\stackrel{·}{H}}_{R,k}T& {\bar{Q}}_R-I& 0\\ -\gamma T& 0& \eta I\end{array}\right]\ge 0\end{array}$$\left[\begin{array}{cc}2LP& T^T\\ T& I\end{array}\right]\ge 0$T≥0η≥0为了得到最差条件下信道矩阵导数，给定最优T条件下，可得${\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}=\arg \underset{\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}\left|\right|\le {\gamma }_k}{min}tr\left({\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}{R}_{R,S}\right)$类似地，上式可重写为$\begin{array}{cc}\underset{t,{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{min}& t\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& T^T{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}^T{Q}_R^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{H}}}_{R,k}T\le tI\end{array}$$\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}\left|\right|\le {\gamma }_k$此问题等价于如下SDP问题：$\begin{array}{cc}\underset{t,{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}}{min}& t\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& \left[\begin{array}{cc}tI& T^T{({\stackrel{·}{H}}_{R,k}+{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k})}^T\\ ({\stackrel{·}{H}}_{R,k}+{\stackrel{·}{\delta }}_{R,k})T& {\bar{Q}}_R\end{array}\right]\ge 0\end{array}$$\left[\begin{array}{cc}{\gamma }_k^2& {\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}^T\\ {\stackrel{·}{\delta }}_{R,k}& I\end{array}\right]\ge 0$将得到的和R_S带入如下优化问题中的目标函数中，即可得到最优的最差条件的CRB：