基于非线性自抗扰控制技术的柔性机械臂控制方法

摘要

基于非线性自抗扰控制技术的柔性机械臂控制方法。一种基于自抗扰控制技术的柔性机械臂控制方法，包括：建立柔性机械臂系统模型，初始化系统状态以及控制器参数；设计高阶的跟踪微分器；设计非线性扩张状态观测器；运用极点配置法确定观测器参数；添加非线性反馈。设计扩张状态观测器，用于估计系统状态以及外部扰动，采用极点配置法确定观测器增益参数；设计非线性反馈控制律，保证系统跟踪误差快速稳定并收敛至零点，最终实现柔性机械臂系统的快速稳定控制。本发明解决系统内部状态及外部扰动不可测的问题，补偿了系统存在的非线性环节及不确定项的影响，改善了普通PID控制方法存在的问题，实现了系统快速稳定地跟踪期望信号。

主权项

一种基于非线性自抗扰控制技术的柔性机械臂控制方法，其特征在于：该控制方法包括以下步骤：步骤1：建立如式(1)所示的系统运动方程：$\left\{\begin{array}{c}I\stackrel{··}{q_1}+MgL\sin \left(q_1\right)+K\left(q_1-q_2\right)=0\\ J\stackrel{··}{q_2}-K\left(q_1-q_2\right)=u\end{array}\right.---\left(1\right)$其中，q₁为电机输入端转动角度，为电机输入端角加速度，为电机输入端角加加速度，q₂为电机输出端转动角度，为电机输出端角加速度，为电机输出端角加加速度，I为连接惯性，J为电机惯性，K为机械臂刚度，u为输入扭矩，M和L为负载质量和负载力矩长度；步骤2：定义状态变量：x₁＝q₁，x₃＝q₂，式(1)改写为$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{x_1}=x_2\\ \stackrel{·}{x_2}=\frac{-MgL}{I}*\sin \left(x_1\right)-\frac{K}{I}\left(x_1-x_3\right)\\ \stackrel{·}{x_3}=x_4\\ \stackrel{·}{x_4}=\frac{K}{J}\left(x_1-x_3\right)+\frac{1}{J}*u\end{array}\right.---\left(2\right)$通过微分同胚映射将式(2)写为$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=x_1\\ z_2=x_2\\ z_3=\frac{-MgL}{I}*\sin \left(x_1\right)-\frac{K}{I}(x_1-x_3)\\ z_4=\frac{-MgL}{I}*\cos \left(x_1\right)*x_2-\frac{K}{I}(x_2-x_4)\end{array}\right.---\left(3\right)$最后得到变换后的系统状态方程为：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{z_1}=z_2\\ \stackrel{·}{z_2}=z_3\\ \stackrel{·}{z_3}=z_4\\ \stackrel{·}{z_4}=a\left(z\right)+b*u\end{array}\right.---\left(4\right)$其中，$a\left(z\right)=\frac{MgL}{I}*sin\left(z_1\right)*(z_2^2-\frac{K}{J})-(\frac{MgL}{I}*cos(z_1)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I})*z_3,b=\frac{K}{I*J};$步骤3：设计四阶跟踪微分器$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{z_1^{*}}=z_2^{*}\\ \stackrel{·}{z_2^{*}}=z_3^{*}\\ \stackrel{·}{z_3^{*}}=z_4^{*}\\ \stackrel{·}{z_4^{*}}=f\\ f=-r\left(r\left(r\left(r\left(z_1^{*}-v\right)+4z_2^{*}\right)+6z_3^{*}\right)+4z_4^{*}\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$其中，分别为输入信号v的第i‑1阶导数，r>0为速度因子，v为输入信号；步骤4，设计非线性扩张状态观测器；4.1 令a(x)＝a₀+Δa，b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据系统结构给定；基于扩张观测器的设计思想，定义扩张状态z₅＝d，则式(4)改写为以下等效形式：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{z_1}=z_2\\ \stackrel{·}{z_2}=z_3\\ \stackrel{·}{z_3}=z_4\\ \stackrel{·}{z_4}=a_0+b_0*u+d\\ \stackrel{·}{z_5}=h\end{array}\right.---\left(6\right)$其中，$h=\stackrel{·}{d};$4.2 令w_i，i＝1,2,3,4,5分别为式(5)中状态变量z_i的观测值，定义跟踪误差其中为期望信号，观测误差为e_oi＝z_i‑w_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{w_1}=w_2+{\beta }_1{g}_1\left(e_{o1}\right)\\ \stackrel{·}{w_2}=w_3+{\beta }_2{g}_2\left(e_{o1}\right)\\ \stackrel{·}{w_3}=w_4+{\beta }_3{g}_3\left(e_{o1}\right)\\ \stackrel{·}{w_4}=w_5+{\beta }_4{g}_4\left(e_{o1}\right)+a_0+b_0*u\\ \stackrel{·}{w_5}={\beta }_5{g}_5\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$其中，β₁，β₂，β₃，β₄，β₅为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g_j(e_o1)为$g_j\left(e_{o1}\right)=\left\{\begin{array}{cc}|e_{o1}{|}^{{\alpha }_j}sign\left(e_{o1}\right),& \left|e_{o1}\right|>\theta ,\\ \frac{e_{o1}}{{\delta }^{1-{\alpha }_j}},& \left|e_{o1}\right|<\theta \end{array}\right.,j=1,2,3,4,5---\left(8\right)$其中，α_j＝[1,0.5,0.25,0.125,0.0625]，θ＝1；步骤5，运用极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃，β₄，β₅的取值；5.1 令δx₁＝z₁‑w₁，δx₂＝z₂‑w₂，δx₃＝z₃‑w₃，δx₄＝z₄‑w₄，δx₅＝h‑w₅，则式(6)减去式(7)得$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_1}={\mathrm{\delta x}}_2-{\beta }_1*g_1\left({\mathrm{\delta x}}_1\right)\\ \stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_2}={\mathrm{\delta x}}_3-{\beta }_2*g_2\left({\mathrm{\delta x}}_1\right)\\ \stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_3}={\mathrm{\delta x}}_4-{\beta }_3*g_3\left({\mathrm{\delta x}}_1\right)\\ \stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_4}={\mathrm{\delta x}}_5-{\beta }_4*g_4\left({\mathrm{\delta x}}_1\right)\\ \stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_5}=h-{\beta }_5*g_5\left({\mathrm{\delta x}}_1\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$设h有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(9)写为令则式(10)写为以下状态空间方程形式$\left[\begin{array}{c}\stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_1}\\ \stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_2}\\ \stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_3}\\ \stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_4}\\ \stackrel{·}{{\mathrm{\delta x}}_5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}-l_1& 1& 0& 0& 0\\ -l_2& 0& 1& 0& 0\\ -l_3& 0& 0& 1& 0\\ -l_4& 0& 0& 0& 1\\ -l_5& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta x_1\\ {\mathrm{\delta x}}_2\\ {\mathrm{\delta x}}_3\\ {\mathrm{\delta x}}_4\\ {\mathrm{\delta x}}_5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]h---\left(11\right)$5.2 设计补偿矩阵$A=\left[\begin{array}{ccccc}-l_1& 1& 0& 0& 0\\ -l_2& 0& 1& 0& 0\\ -l_3& 0& 0& 1& 0\\ -l_4& 0& 0& 0& 1\\ -l_5& 0& 0& 0& 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right],\delta x=\left[\begin{array}{c}\delta x_1\\ {\mathrm{\delta x}}_2\\ {\mathrm{\delta x}}_3\\ {\mathrm{\delta x}}_4\\ {\mathrm{\delta x}}_5\end{array}\right]$则式(11)写为$\stackrel{·}{\delta x}=A*\delta x+Eh---\left(12\right)$至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(12)在扰动h的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(12)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足$|sI-A|={\Pi }_{i=1}^5(s-p_i);---\left(13\right)$其中，I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃，l₄，l₅的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为步骤6，基于自抗扰控制方法设计非线性反馈动态补偿线性化控制器u；6.1，设计非线性反馈：$fal(ϵ,\alpha ,\delta )=\left\{\begin{array}{cc}|ϵ{|}^{\alpha }\mathrm{sgn}\left(ϵ\right),& \left|ϵ\right|>\delta \\ \frac{ϵ}{{\delta }^{1-\alpha }},& \left|ϵ\right|\le \delta \end{array}\right.---\left(15\right)$其中，$ϵ=z_i^{*}-w_i,$δ＝1；6.2，根据动态补偿线性化的思想设计自抗扰控制器如下：$\begin{array}{c}u=\frac{1}{b_0}[-a_0+\stackrel{·}{z_4^{*}}+k_1(z_1^{*}-w_1)+k_2(z_2^{*}-w_2)+k_3(z_3^{*}-w_3)+\\ k_4\left(z_4^{*}-w_4\right)-w_5];\end{array}---\left(16\right)$其中，k₁,k₂,k₃,k₄为控制器参数；6.3，运用极点配置法确定观测器增益参数k₁,k₂,k₃,k₄的取值：将式(16)带入式(4)后，有$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{z_1}=z_2\\ \stackrel{·}{z_2}=z_3\\ \stackrel{·}{z_3}=z_4\\ \stackrel{·}{z_4}=\stackrel{·}{z_4^{*}}+k_1\left(\stackrel{·}{z_1^{*}}-w_1\right)+k_2\left(\stackrel{·}{z_2^{*}}-w_2\right)+k_3\left(\stackrel{·}{z_3^{*}}-w_3\right)+k_4\left(\stackrel{·}{z_4^{*}}-w_4\right)\end{array}\right.---\left(17\right)$将式(17)中第四项改写为得到$e^{\left(4\right)}=k_{1}e+k_2\stackrel{·}{e}+k_3\stackrel{··}{e}+k_4\stackrel{···}{e};$其中，$e^{\left(4\right)}=\stackrel{·}{z}-\stackrel{·}{z_4^{*}},$为e的四次导数，$e=z_1^{*}-w_1;$令$\left\{\begin{array}{c}{D}_1=e\\ D_2=\stackrel{·}{e}\\ D_3=\stackrel{··}{e}\\ D_4=\stackrel{···}{e}\end{array}\right.---\left(18\right)$则式(18)写为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{D}}_1=D_2\\ {\stackrel{·}{D}}_2=D_3\\ {\stackrel{·}{D}}_3=D_4\\ {\stackrel{·}{D}}_4=k_1{D}_1+k_2{D}_2+k_3{D}_3+k_4{D}_4\end{array}\right.---\left(19\right)$式(19)写为矩阵形式其中$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ k_1& k_2& k_3& k_4\end{array}\right]$使式(19)渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(19)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i，i＝1,2,3,4，使参数k_i满足$|sI-A|={\Pi }_{i=1}^4(s-p_i);---\left(20\right)$其中I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数k₁,k₂,k₃,k₄的值。