采用偶极矩模型对PCB电路电磁场进行反演的方法

摘要

一种采用偶极矩模型对PCB电路电磁场进行反演的方法，其特征在于包括有下列步骤：一：利用电磁场探头测试近场电磁场强度数据；二：设置偶极子阵列；三：计算采样点和偶极子阵列之间的映射矩阵T；四：计算偶极矩矩阵X(α)；五：计算偶极矩矩阵X(α)在高于PCB电路任意高度观察平面上的切向电磁场分量；六：把步骤五求得的切向电磁场分量代入公式(32)和(33)进行计算，求解步骤五中平面上的法向电磁场分量。优点在于：该矩阵能够很好的反映PCB电路的电压和电流分布，同时可以对电磁场的辐射进行准确的计算，降低了电磁场分布的测试成本；为系统级电磁兼容设计指标量化验证环节提供了有力依据；实现了PCB电路电磁场的反演，得到PCB电路的近场耦合和远场辐射特性。

主权项

一种采用偶极矩模型对PCB电路电磁场进行反演的方法，其中，任意的电小源都由6个偶极矩分量等效代替：三个电偶极矩Px，Py，Pz和三个磁偶极矩分量Mx，My，Mz；PCB电路的设计中走线紧贴电源平面或者参考地平面，用来等效PCB电路的偶极矩在满足理想导体的边界条件前提下减少为Mx，My和Pz；垂直电偶极子Pz描述PCB走线与参考地平面之间的电压分布，水平磁偶极子Mx和My描述PCB走线上的电流分布；用N×N个偶极子的偶极子阵列来等效PCB电路，每个偶极子包含三个偶极矩分量，分别为Pz，Mx，My；在M×M个采样数据点的近场采样平面上，每个采样数据点的水平场强分别为Ex，Ey，Hx，Hy；设定偶极子的位置坐标为(x’,y’,d),采样点的位置坐标为(x,y,z)，d表示的是偶极子距离参考地平面的高度，z表示采样点距离参考地平面的高度，其中z>d>0，采样点(x,y,z)处的切向电场强度和磁场强度由以下公式计算出来$E_x={\tau }_E\left\{\right[\frac{(z-d)(x-x^{\prime })}{r_1^2}{q}_1\left(r_1\right)+\frac{(z+d)(x-x^{\prime })}{r_2^2}{q}_1\left(r_2\right)]P_z+[\frac{(z-d)}{r_1}{q}_3\left(r_1\right)+\frac{(z+d)}{r_2}{q}_3\left(r_2\right)\left]k_0{M}_y\right\}---\left(1\right)$$E_y={\tau }_E\left\{\right[\frac{(y-y^{\prime })(z-d)}{r_1^2}{q}_1\left(r_1\right)+\frac{(y-y^{\prime })(z+d)}{r_2^2}{q}_1\left(r_2\right)]P_z+[-\frac{(z-d)}{r_1}{q}_3\left(r_1\right)-\frac{(z+d)}{r_2}{q}_3\left(r_2\right)\left]k_0{M}_x\right\}---\left(2\right)$$\begin{array}{c}{H}_x={\tau }_H\{-[\frac{(y-y^{\prime })}{r_1}{q}_3\left(r_1\right)+\frac{(y-y^{\prime })}{r_2}{q}_3\left(r_2\right)]P_z+[-\frac{{(y-y^{\prime })}^2+{(z-d)}^2}{r_1^2}{q}_1\left(r_1\right)+q_2\left(r_1\right)\\ -\frac{{(y-y^{\prime })}^2+{(z+d)}^2}{r_2^2}{q}_1\left(r_2\right)+q_2\left(r_2\right)]k_0{M}_x+[\frac{(x-x^{\prime })(y-y^{\prime })}{r_1^2}{q}_1\left(r_1\right)+\frac{(x-x^{\prime })(y-y^{\prime })}{r_2^2}{q}_1\left(r_2\right)\left]k_0{M}_y\right\}\end{array}---\left(3\right)$$\begin{array}{c}{H}_y={\tau }_H\left\{\right[\frac{(x-x^{\prime })}{r_1}{q}_3\left(r_1\right)+\frac{(x-x^{\prime })}{r_2}{q}_3\left(r_2\right)]P_z+[\frac{(x-x^{\prime })(y-y^{\prime })}{r_1^2}{q}_1\left(r_1\right)+\frac{(x-x^{\prime })(y-y^{\prime })}{r_2^2}{q}_1\left(r_2\right)]k_0{M}_x\\ +[-\frac{{(x-x^{\prime })}^2+{(z-d)}^2}{r_1^2}{q}_1\left(r_1\right)+q_2\left(r_1\right)-\frac{{(x-x^{\prime })}^2+{(z+d)}^2}{r_2^2}{q}_1\left(r_2\right)+q_2\left(r_2\right)]k_0{M}_y\end{array}---\left(4\right)$其中，j是虚数单位，k₀和η₀分别表示自由空间中的波数和波阻抗，f为频率，c为真空中的光速，η₀＝120π，Pz表示垂直电偶极矩，它是一个复数，单位为A·m，Mx和My表示水平磁偶极矩，单位为A·m²，r₁表示近场采样数据点与偶极子阵列中每个偶极子的距离，r₂表示近场采样数据点与偶极子阵列中每个偶极子的镜像的距离；r₁和r₂由下式表示：r₁＝[(x‑x′)²+(y‑y′)²+(z‑d)²]^1/2   (5)r₂＝[(x‑x′)²+(y‑y′)²+(z+d)²]^1/2   (6)q₁(r)、q₂(r)、q₃(r)表示为:q₁(r)、q₂(r)、q₃(r)没有物理意义，这是为了简化公式(1)‑(4)的，否则公式显得太复杂；$q_1\left(r\right)=[\frac{3}{{\left(k_{0}r\right)}^2}+j\frac{3}{k_{0}r}-1]f\left(r\right)---\left(7\right)$$q_2\left(r\right)=[\frac{2}{{\left(k_{0}r\right)}^2}+j\frac{2}{k_{0}r}]f\left(r\right)---\left(8\right)$$q_3\left(r\right)=[\frac{1}{k_{0}r}+j]f\left(r\right)---\left(9\right)$其中，r为空间点的矢径的模值，e为自然常数；因此用来等效PCB电路的偶极子的偶极矩(Pz,Mx,My)和近场采样数据场强(Ex,Ey,Hx,Hy)存在下述的映射关系：$F=\left(\begin{array}{c}{\left[Ex\right]}_{M^2\times 1}\\ {\left[Ey\right]}_{M^2\times 1}\\ {\left[Hx\right]}_{M^2\times 1}\\ {\left[Hy\right]}_{M^2\times 1}\end{array}\right)=TX=T\left(\begin{array}{c}{\left[Pz\right]}_{N^2\times 1}\\ {\left[Mx\right]}_{N^2\times 1}\\ {\left[My\right]}_{N^2\times 1}\end{array}\right)---\left(10\right)$其中[Ex]，[Ey]，[Hx]，[Hy]分别表示x方向和y方向上的电场强度和磁场强度矩阵，近场采样点的个数为M×M；是待求的偶极矩矩阵，[Pz]是偶极子阵列的垂直电偶极矩矩阵，[Mx]、[My]是偶极子阵列的水平磁偶极矩，每种偶极子个数为N×N；映射矩阵描述的是空间中任意一点电磁场与偶极子矩阵之间关系，映射矩阵由下式表示：$T=\left(\begin{array}{ccc}{T}_{ExPz}& T_{ExMx}& T_{ExMy}\\ T_{EyPz}& T_{EyMx}& T_{EyMy}\\ T_{HxPz}& T_{HxMx}& T_{HxMy}\\ T_{HyPz}& T_{HyMx}& T_{HyMy}\end{array}\right)---\left(11\right)$每一个子矩阵的维数为M²×N²，表示的是由某一种偶极矩产生的某一方向上的场强；以T_ExMy为例，它表示所有y方向上的磁偶极矩My在x方向上产生的电场强度Ex；T矩阵总共有4M²×3N²个元素，每一个子矩阵由下式表示：$T_{EyPz}(a,b)={\tau }_E[\frac{\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)(z_0-d)}{{r_{-}}^2}{q}_1\left(r_{-}\right)+\frac{\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)(z_0+d)}{{r_{+}}^2}{q}_1\left(r_{+}\right)]---\left(12\right)$T_ExMx(a,b)＝0  (13)$T_{ExMy}(a,b)={\tau }_E[\frac{(z_0-d)}{r_{-}}{q}_3\left(r_{-}\right)+\frac{(z_0+d)}{r_{+}}{q}_3\left(r_{+}\right)]k_0---\left(14\right)$$T_{EyPz}(a,b)={\tau }_E[\frac{\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)(z_0-d)}{{r_{-}}^2}{q}_1\left(r_{-}\right)+\frac{\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)(z_0+d)}{{r_{+}}^2}{q}_1\left(r_{+}\right)]---\left(15\right)$$T_{EyMx}(a,b)={\tau }_E[-\frac{(z_0-d)}{r_{-}}{q}_3\left(r_{-}\right)-\frac{(z_0+d)}{r_{+}}{q}_3\left(r_{+}\right)]k_0---\left(16\right)$T_EyMy(a,b)＝0  (17)$T_{HxPz}(a,b)=-{\tau }_H[\frac{\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)}{r_{-}}{q}_3\left(r_{-}\right)+\frac{\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)}{r_{+}}{q}_3\left(r_{+}\right)]---\left(18\right)$$\begin{array}{c}{T}_{HxMx}(a,b)={\tau }_H[-\frac{{\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)}^2+{(z_0-d)}^2}{{r_{-}}^2}{q}_1\left(r_{-}\right)+q_2\left(r_{-}\right)\\ -\frac{{\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)}^2+{(z_0+d)}^2}{{r_{+}}^2}{q}_1\left(r_{+}\right)+q_2\left(r_{+}\right)]k_0\end{array}---\left(19\right)$$T_{HxMy}(a,b)={\tau }_H\left[\begin{array}{c}\frac{\left(x\right(a)-x^{\prime }(b\left)\right)\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)}{{r_{-}}^2}{q}_1\left(r_{-}\right)+\\ \frac{\left(x\right(a)-x^{\prime }(b\left)\right)\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)}{{r_{+}}^2}{q}_1\left(r_{+}\right)+\end{array}\right]k_0---\left(20\right)$$T_{HyPz}(a,b)={\tau }_H[\frac{\left(x\right(a)-x^{\prime }(b\left)\right)}{r_{-}}{q}_3\left(r_{-}\right)+\frac{\left(x\right(a)-x^{\prime }(b\left)\right)}{r_{+}}{q}_3\left(r_{+}\right)]---\left(21\right)$$T_{HyMx}(a,b)={\tau }_H[\frac{\left(x\right(a)-x^{\prime }(b\left)\right)\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)}{{r_{-}}^2}{q}_1\left(r_{-}\right)+\frac{\left(x\right(a)-x^{\prime }(b\left)\right)\left(y\right(a)-y^{\prime }(b\left)\right)}{{r_{+}}^2}{q}_1\left(r_{+}\right)]k_0---\left(22\right)$$\begin{array}{c}{T}_{HyMy}(a,b)={\tau }_H[-\frac{(z_0-d)+{\left(x\right(a)-x^{\prime }(b\left)\right)}^2}{{r_{-}}^2}{q}_1\left(r_{-}\right)+q_2\left(r_{-}\right)\\ -\frac{{(z_0+d)}^2+{\left(x\right(a)-x^{\prime }(b\left)\right)}^2}{{r_{+}}^2}{q}_1\left(r_{+}\right)+q_2\left(r_{+}\right)]k_0\end{array}---\left(23\right)$上述公式中(x(a),y(a),z₀)为控件中任意一点的坐标，(x′(b),y′(b),d)表示偶极子的坐标，其中a和b分别表示空间中任意一点和偶极子的序号，并且满足以下约束条件a＝1,2,3...M²，b＝1,2,3...N²；r_‑表示空间中任意一点与偶极子的距离，r₊表示任意控件一点与偶极子镜像的距离；根据公式(5)和(6)得到采样点与偶极子之间响应的位置关系，将每一个采样点的坐标(x,y,z)用(x(a),y(a),z₀)表示，每一个偶极子的坐标(x',y',d)用(x'(b),y'(b),d)表示，因此得到近场采样数据点与偶极子的距离为：r₁(a,b)＝[(x(a)‑x′(b))²+(y(a)‑y′(b))²+(z₀‑d)²]^1/2  (24)近场采样数据点与偶极子的镜像的距离为：r₂(a,b)＝[(x(a)‑x′(b))²+(y(a)‑y′(b))²+(z₀+d)²]^1/2  (25)将采样点和偶极子及其镜像之间相应位置关系r₁(a,b)和r₂(a,b)分别用r_‑和r₊表示，代入公式(12)‑(23)计算得到采样点与偶极子之间的映射矩阵T；采用正则化方法来求解偶极子的偶极矩；argmin{||F‑TX||²+α||X||²}   (26)X(α)＝[T′T+α²I]^‑1T′F  (27)式中“argmin”表示使得(26)取得最小值，α被称作正则化系数；采用通过对数坐标尺度描述||X_α||和||F‑TX_α||的L曲线准则，α对应L曲线上曲率最大的点；将求解得到的正则化参数α代入(27)求得与干扰不敏感的偶极矩矩阵X(α)；|| ||表示一个矩阵的范数，F表示近场采样数据场强矩阵；在任意观察平面上的设置M×M观察点，x方向上等间隔取M个观察点，y方向上等间隔取M个观察点，每一个观察点的坐标为(x”,y”,z”)，z”是任意观察平面与参考地平面之间的高度距离，且满足z”＞d＞0；将每一个观察的坐标(x”,y”,z”)用(x(a),y(a),z₀)表示，每一个偶极子的坐标(x',y',d)用(x'(b),y'(b),d)表示，因此得到观察点与偶极子的距离为：r₁'(a,b)＝[(x(a)‑x′(b))²+(y(a)‑y′(b))²+(z₀‑d)²]^1/2   (28)观察点与偶极子的镜像的距离为：r₂'(a,b)＝[(x(a)‑x′(b))²+(y(a)‑y′(b))²+(z₀+d)²]^1/2   (29)将观察点和偶极子及其镜像之间相应位置关系r₁'(a,b)和r₂'(a,b)分别用r_‑和r₊表示，代入公式(12)‑(23)计算得到采样点与偶极子之间的映射矩阵T_v；通过等效偶极矩矩阵X(α)和映射矩阵T_v根据公式(30)求解任意观察平面的电磁场切向分量；$T_{v}X\left(\alpha \right)=F_v=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{Ex}}_v\\ {\mathrm{Ey}}_v\\ {\mathrm{Hx}}_v\\ {\mathrm{Hy}}_v\end{array}\right]---\left(30\right)$其中F_v是在观察平面上电磁场强度矩阵，该矩阵有4M²×1个元素；其中Ex_v，Ey_v，Hx_v，Hy_v分别表示x方向和y方向上的电场强度和磁场强度，每个矩阵有M²×1个元素；根据简单无耗媒质中的麦克斯韦方程组得到$▿\times E\left(r\right)=-j\omega \mu H\left(r\right)---\left(31\right)$$▿\times \tilde{H}\left(r\right)=j\omega ϵ\tilde{E}\left(r\right)---\left(32\right)$式中E(r),H(r)分别表示电场和磁场的复数形式；表示E(r)的旋度，表示H(r)的旋度，ω为角频率，μ磁导率，ε为介电常数；把(31)、(32)展开，由z方向上的分量相等得到其中Hz是观察平面上法向磁场分量，Ez是观察平面上法向电场分量；利用中心差分商代替偏导数，得到(33)、(34)的离散形式：$Hz(m,n)=\frac{j}{2\omega \mu }\{\frac{[{\mathrm{Ey}}_v(m+1,n)-{\mathrm{Ey}}_v(m-1,n)]}{\Delta x}-\frac{[{\mathrm{Ex}}_v(m,n+1)-{\mathrm{Ex}}_v(m,n-1)]}{\Delta y}\}---\left(35\right)$$Ez(m,n)=-\frac{j}{2\omega ϵ}\{\frac{[{\mathrm{Hy}}_v(m+1,m)-{\mathrm{Hy}}_v(m-1,n)]}{\Delta x}-\frac{[{\mathrm{Hx}}_v(m,n+1)-{\mathrm{Hx}}_v(m,n-1)]}{\Delta y}\}---\left(36\right)$其中m,n表示每一个观察点在x方向和y方向上的序号，且满足2≤m,n≤M‑1，Δx、Δy分别表示x方向和y方向上近场采样点的间距，实现了求解任意观察平面上的电磁场的分布；其特征在于，包括有下列步骤：步骤一：利用电磁场探头测试近场电磁场强度数据；步骤二：设置偶极子阵列；步骤三：计算采样点和偶极子阵列之间的映射矩阵T；步骤四：计算偶极矩矩阵X(α)；步骤五：计算偶极矩矩阵X(α)在高于PCB电路任意高度观察平面上的切向电磁场分量；步骤六：把步骤五求得的切向电磁场分量代入公式(32)和(33)进行计算，求解步骤五中平面上的法向电磁场分量。