一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法

摘要

一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法，涉及磁共振成像。包括以下步骤：1)对频谱的初步处理；2)建立基于时域信号低秩的频谱恢复模型；3)提出基于时域信号低秩的频谱恢复模型的求解算法；4)由步骤3)得到恢复的频谱，画出频谱图。利用指数信号汉克尔矩阵的低秩特性来约束信号的恢复过程，实现从有数据点丢失的频谱中恢复出完整频谱，达到了高质量恢复缺失数据的目的。

主权项

一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法，其特征在于包括以下步骤：1)对频谱的初步处理，具体方法如下：给定有部分数据点丢失的一维频谱符号代表复数集合，待恢复的完整频谱为N和M分别是完整频谱和具有丢失的频谱的数据点数，其中M＜N；将频谱中丢失的N‑M个数据点的值设置为零，作为完整频谱x在这些丢失位置的初始值；2)建立基于时域信号低秩的频谱恢复模型，所述基于时域信号低秩的频谱恢复模型如下：$\underset{x}{min}\left|\right|{\mathrm{RF}}^{-1}x|{|}_{*}+\frac{\lambda }{2}||y-Ux|{|}_2^2,---\left(1\right)$其中，F^‑1表示一维傅里叶逆变换，R表示将一个一维向量转成汉克尔矩阵的算子，||·||_*表示矩阵的核范数，U表示带有数据丢失的信号采集算子，表示向量的二范数的平方，正则化参数λ(λ＞0)用于权衡||RF^‑1x||_*和两项的重要性；3)提出基于时域信号低秩的频谱恢复模型的求解算法，具体方法如下：借鉴求解汉克尔矩阵低秩的交替方向乘子法求解公式(1)中的最优化问题，为此引入变量Z和拉格朗日乘子D，根据以下公式迭代更新变量：$({\mathrm{\lambda U}}^{H}U+{\mathrm{\beta FR}}^H{\mathrm{RF}}^{-1})x^{n+1}={\mathrm{\lambda U}}^{H}y+{\mathrm{\beta FR}}^H(Z^n-\frac{D^n}{\beta }),---\left(3\right)$$Z^{n+1}\leftarrow S_{\frac{1}{\beta }}({\mathrm{RF}}^{-1}{x}^{n+1}+\frac{D^n}{\beta }),---\left(4\right)$Dⁿ⁺¹←Dⁿ+τ(RF^‑1xⁿ⁺¹‑Zⁿ⁺¹),  (5)当达到最大迭代次数或x在相邻两次迭代中的误差小于设置的阈值η(η＞0)时，迭代结束；其中，xⁿ⁺¹,Zⁿ⁺¹和Dⁿ⁺¹分别表示变量x,Z和D在第n+1次迭代时的值，公式(3)中的H表示矩阵的复共轭转置；公式(4)中的表示奇异值收缩算子，阈值是参数β，τ和λ都是正数；4)由步骤3)得到恢复的频谱，画出频谱图。