一种非线性自抗扰控制系统稳定性判断方法

摘要

本发明公开了一种非线性自抗扰控制系统稳定性判断方法，其包括建立非线性自抗扰控制系统的步骤，进行系统转换的步骤，利用鲁棒波波夫判据对间接鲁里叶系统进行稳定性判断的步骤，其有益效果是：本发明通过将非线性自抗扰控制系统转换为区间鲁里叶系统，利用鲁棒波波夫判据判断系统的稳定性，既可判定标称系统的稳定性，也可以判定存在参数摄动系统的鲁棒稳定性，十分方便；本发明使原本复杂的非线性扩张状态观测器稳定性分析，通过将其转换为变增益的线性扩张状态观测器，再利用劳斯判据即可判定其稳定性，十分简单、方便。

主权项

一种非线性自抗扰控制系统稳定性判断方法，其特征在于包括如下步骤：(一)建立非线性自抗扰控制系统，其包括被控对象和非线性自抗扰控制器；所述非线性自抗扰控制器包括跟踪微分器、非线性扩张状态观测器和非线性误差反馈控制律u；所述被控对象为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=x_3\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{x}}_n=a_n{x}_1+a_{n-1}{x}_2+\mathrm{...}{a}_1{x}_n+bu\\ y=x_1\end{array}\right.$                                  (式1)在(式1)中，x_i为被控对象的状态；a_i为被控对象相应状态的增益；为被控对象的状态相应的一阶导数；其中i＝1,2,…,n,n为大于1的正整数；y为被控对象输出；非线性误差反馈控制律u为被控对象的控制输入量；b是控制通道增益；所述跟踪微分器为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{·}{v}}_2=v_2\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{v}}_{n-1}=v_n\\ {\stackrel{·}{v}}_n={\lambda }^n\psi (v_1-r,\frac{v_2}{\lambda },\mathrm{...},\frac{v_n}{{\lambda }^{n-1}})\end{array}\right.$   (式2)在(式2)中，r为所述跟踪微分器的输入，v_i(i＝1,2，…，n)为所述跟踪微分器的输出，λ为可调速度因子，为快速跟踪函数；所述非线性扩张状态观测器为(式3)在(式3)中，被控对象输出y和非线性误差反馈控制律u的b倍增益分别为所述非线性扩张状态观测器的输入信号；z_i(i＝1,2,...,n+1)为所述非线性扩张状态观测器的输出；β_0i(i＝1，2，…，n+1)为所述非线性扩张状态观测器的增益；e代表被控对象的输出y与非线性扩张状态观测器的输出z₁之间的偏差；所述非线性扩张状态观测器中的通常取如下非线性函数：(式4)其中，α_t(i＝1，2，…，n+1)和δ为正常数，sgn()表示符号函数；所述非线性误差反馈控制律u的表达式如下：$u=\frac{u_0-z_n+1}{b}$   (式5)其中，$u_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{i}fal(v_i-z_i,{{\alpha }^{\prime }}_i,\delta )$   (式6)在(式5)和(式6)中，k_i为增益系数，α′_i(i＝1,2,…,n)为正常数；b为控制通道增益；u₀是非线性误差反馈控制律u中状态反馈部分，即状态反馈控制律；所述非线性扩张状态观测器的输出z_i(i＝1,2，…，n)与所述跟踪微分器的输出v_i(i＝1,2，…，n)做减法比较后作为所述状态反馈控制律u₀的输入e_i；所述非线性误差反馈控制律u的b倍增益作为所述非线性扩张状态观测器的第一输入信号；所述被控对象的输出y作为所述非线性扩张状态观测器的第二输入信号；(二)进行系统转换；假设A1所述跟踪微分器的输入r为0，那么所述跟踪微分器的输出v_i(i＝1,2，…，n)均为0；令e_i＝v_i‑z_i；则对(式6)中的fal(v_i‑z_i，α′_i，δ)作如下变换：$fal(v_i-z_i,{{\alpha }^{\prime }}_i,\delta )=fal(e_i,{{\alpha }^{\prime }}_i,\delta )=\frac{fal(e_i,{{\alpha }^{\prime }}_i,\delta )}{e_i}{e}_i;$令$\frac{fal(e_i,{{\alpha }^{\prime }}_i,\delta )}{e_i}={\lambda }_i\left(e_i\right)$则fal(v_i‑z_i，α′_i，δ)＝λ_i(e_i)e_i   (式7)将λ_i(e_i)简写为λ_i，由(式6)和(式7)得：$u_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_i{\lambda }_i{e}_i;$   (式8)令X＝[x₁，x₂，…，x_n]^T，Z＝[z₁，z₂，…，z_n]^T，由(式1)、(式5)和(式8)得：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{X}=A_{11}X+A_{12}Z+A_{13}{z}_{n+1}\\ y=x_1\end{array}\right.$                                 (式9)其中，$A_{11}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& 0& 1& \mathrm{...}& 0\\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ 0& 0& \mathrm{...}& 0& 1\\ a_n& a_{n-1}& \mathrm{...}& a_2& a_1\end{array}\right],A_{12}=\left[\begin{array}{cccc}0& \mathrm{...}& 0& 0\\ & .& & \\ & .& & \\ & .& & \\ 0& \mathrm{...}& 0& 0\\ -{\lambda }_1{k}_1& -{\lambda }_2{k}_2& \mathrm{...}& {\lambda }_n{k}_n\end{array}\right],$令(式10)(式10)表示当取得最大值时的其中i＝1,2,…,n,n+1；将所述非线性扩张状态观测器(式3)做如下变形：(式11)令(式12)则(式13)由(式5)、(式8)和(式13)得：(式14)其中，$A_{21}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& 0& 1& \mathrm{...}& 0\\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ & .& & .& \\ 0& 0& \mathrm{...}& 0& 1\\ -{\lambda }_1{k}_1& -{\lambda }_2{k}_2& \mathrm{...}& -{\lambda }_{n-1}{k}_{n-1}& -{\lambda }_n{k}_n\end{array}\right],$$A_{22}={[{\tilde{\lambda }}_{01}{\beta }_{01},{\tilde{\lambda }}_{02}{\beta }_{02},...,{\tilde{\lambda }}_{0n}{\beta }_{0n}]}^T.$由(式9)和(式14)得：(式15)其中，c₁＝[‑1，0，…，0]^T∈Rⁿ，c₂＝[1，0，…，0]^T∈Rⁿ；令Y＝A₁₁X+A₁₃z_n+1，e＝σ，则(式16)将(式16)进一步表示为：(式17)其中，$\tilde{x}={\left[\begin{array}{cc}Y& Z\end{array}\right]}^T,A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{11}{A}_{12}\\ 0& A_{21}\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{A}_{13}{\beta }_{0(n+1)}\\ A_{22}\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{ccc}{e_1}^T& {A_{11}}^{-1}& {C_2}^T\end{array}\right]$$\rho =-{c_1}^T{A_{11}}^{-1}{A}_{13}{\beta }_{0(n+1)}=-\frac{{\tilde{\lambda }}_{0(n+1)}{\beta }_{0(n+1)}}{a_n}.$(式17)即为间接鲁里叶系统，所述间接鲁里叶系统的前向通道传递函数G(s)的表达式为：G(s)＝c^T(sI‑A)^‑1b+ρ/s；   (式18)(三)利用鲁棒波波夫判据对间接鲁里叶系统进行稳定性判断；首先，定义间接鲁里叶系统的区间传递函数G_I如下：$G_I=\{G\left(s\right):G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)},N\left(s\right)\in N_I,D\left(s\right)\in D_I\}$   (式19)；其中，$N_I=\{N\left(s\right):N\left(s\right)=\underset{i=0}{\overset{m}{\Sigma }}{b}_i{s}^i,b_i\in [{\underset{‾}{b}}_i,{\bar{b}}_i],i=0,\mathrm{...},m\}$$D_I=\{D\left(s\right):D\left(s\right)=s^n\underset{i=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}{c}_i{s}^i,c_i\in [{\underset{‾}{c}}_i,{\bar{c}}_i],i=0,\mathrm{...},n-1\}$m，n分别为整数；进而定义如下分子顶点多项式N_K如下：N_K＝{N₁(s),N₂(s),N₃(s),N₄(s)}   (式20)其中，$N_1\left(s\right)={\bar{b}}_0+{\bar{b}}_{1}s+{\underset{‾}{b}}_2{s}^2+{\underset{‾}{b}}_3{s}^3+{\bar{b}}_4{s}^4+{\bar{b}}_5{s}^5+\mathrm{...},$$N_2\left(s\right)={\bar{b}}_0+{\underset{‾}{b}}_{1}s+{\underset{‾}{b}}_2{s}^2+{\bar{b}}_3{s}^3+{\bar{b}}_4{s}^4+{\underset{‾}{b}}_5{s}^5+\mathrm{...},$$N_3\left(s\right)={\underset{‾}{b}}_0+{\underset{‾}{b}}_{1}s+{\bar{b}}_2{s}^2+{\bar{b}}_3{s}^3+{\underset{‾}{b}}_4{s}^4+{\underset{‾}{b}}_5{s}^5+\mathrm{...},$$N_4\left(s\right)={\underset{‾}{b}}_0+{\bar{b}}_{1}s+{\bar{b}}_2{s}^2+{\underset{‾}{b}}_3{s}^3+{\underset{‾}{b}}_4{s}^4+{\bar{b}}_5{s}^5+...,$分别为实数；同样，定义分母顶点多项式D_K如下：D_K＝{D₁(s),D₂(s),D₃(s),D₄(s)}    (式21)其中，$D_1\left(s\right)={\bar{c}}_0+{\bar{c}}_{1}s+{\underset{‾}{c}}_2{s}^2+{\underset{‾}{c}}_3{s}^3+{\bar{c}}_4{s}^4+{\bar{c}}_5{s}^5+\mathrm{...},$$D_2\left(s\right)={\bar{c}}_0+{\underset{‾}{c}}_{1}s+{\underset{‾}{c}}_2{s}^2+{\bar{c}}_3{s}^3+{\bar{c}}_4{s}^4+{\underset{‾}{c}}_5{s}^5+\mathrm{...},$$D_3\left(s\right)={\underset{‾}{c}}_0+{\underset{‾}{c}}_{1}s+{\bar{c}}_2{s}^2+{\bar{c}}_3{s}^3+{\underset{‾}{c}}_4{s}^4+{\underset{‾}{c}}_5{s}^5+\mathrm{...},$$D_4\left(s\right)={\underset{‾}{c}}_0+{\bar{c}}_{1}s+{\bar{c}}_2{s}^2+{\underset{‾}{c}}_3{s}^3+{\underset{‾}{c}}_4{s}^4+{\bar{c}}_5{s}^5+...,$分别为实数；定义间接鲁里叶系统的传递函数集G_K如下：$G_K=\{G\left(s\right):G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)},N\left(s\right)\in N_K,D\left(s\right)\in D_K\}$   (式22)由(式20)、(式21)和(式22)可知，间接鲁里叶系统的传递函数集G_K包括如下16个前向通道函数G(s)：$\begin{array}{c}{G}_K=\{G\left(s\right):G\left(s\right)=\frac{N_1\left(s\right)}{D_1\left(s\right)},\frac{N_2\left(s\right)}{D_1\left(s\right)},\frac{N_3\left(s\right)}{D_1\left(s\right)},\frac{N_4\left(s\right)}{D_1\left(s\right)},\\ \frac{N_1\left(s\right)}{D_2\left(s\right)},\frac{N_2\left(s\right)}{D_2\left(s\right)},\frac{N_3\left(s\right)}{D_2\left(s\right)},\frac{N_4\left(s\right)}{D_2\left(s\right)},\frac{N_1\left(s\right)}{D_3\left(s\right)},\frac{N_2\left(s\right)}{D_3\left(s\right)},\\ \frac{N_3\left(s\right)}{D_3\left(s\right)},\frac{N_4\left(s\right)}{D_3\left(s\right)},\frac{N_1\left(s\right)}{D_4\left(s\right)}\frac{N_2\left(s\right)}{D_4\left(s\right)},\frac{N_3\left(s\right)}{D_4\left(s\right)},\frac{N_4\left(s\right)}{D_4\left(s\right)}\}\end{array}$                              (式23)当G(s)∈G_K时，若存在一正实数θ均满足波波夫稳定性条件，则前向通道传递函数G(s)为式(19)所示区间传递函数G_I，即G(s)∈G_I的间接鲁里叶系统是绝对稳定的。