一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的方法

摘要

一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的方法，该方法有五大步骤：步骤一、根据气球整体的受力平衡方程，建立囊布的经向应力和纬向应力与变形形状函数之间的关系；步骤二、建立描述变形形状的几何模型，给出变形形状函数的具体表达式；步骤三、建立气球系统的总势能函数；步骤四、根据最小势能原理，求解变形形状函数表达式中的待定参数；步骤五、将已经确定的待定参数代入变形形状函数表达式中，即确定气球的变形形状，进而确定囊布的经向应力和纬向应力。本发明简单实用，仅仅需要将气球的囊布材料参数、气球未受荷载时的几何参数、内部气体参数和荷载代入到模型中，就很容易得到平流层中气球的变形形状与囊布应力。

主权项

一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：步骤一、根据气球整体的受力平衡方程，建立囊布的经向应力和纬向应力与变形形状函数之间的关系；当气球承受荷载时，其形状为水滴型，圆形虚线表示未承受荷载时垂直横截面的原始形状，水滴形实线表示承受荷载时垂直横截面的形状，气球承受荷载还会导致出现褶皱，外部虚线表示未承受荷载时水平横截面的原始形状，内部实线表示承受荷载时水平横截面的形状，内部虚线表示承受荷载时简化为圆形的水平横截面的形状；承受荷载时气球的形状用平面内的曲线绕对称轴形成的旋转体来描述，垂直横截面形状通过旋转半径r₂来确定，旋转半径r₂是关于x的函数：r₂＝f(x)         (1)r₂就是描述气球承受荷载时描述垂直横面形状的形状函数，对于描述不受荷载的气球的形状的母线就是半圆周；x为气球的形状曲线在对称轴上的坐标；通过对下半球建立沿重力方向的受力平衡方程得式中，r₃为无荷载气球的水平横截面轴对称曲线绕x轴的旋转半径，N₁为囊布的经向应力，为形状函数r₂上任意一点的法线与x轴之间的夹角，Δp为气球的内外压差，G为气球所承受荷载的重力；由式(2)得同样建立沿圆周方向的受力平衡方程：$2{\int }_0^H{N}_2\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}dx=2{\int }_0^H{\mathrm{\Delta pr}}_{2}dx---\left(4\right)$式中，H为气球受荷载时的高度，N₂为囊布的纬向应力；r₂′为r₂对x的导数；由式(4)得$N_2=\frac{{\mathrm{\Delta pr}}_2}{\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}}---\left(5\right)$由于气球受载前后的母线长度不变，得${\int }_0^x\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}dx=R_{0}arcsin\frac{r_3}{R_0}---\left(6\right)$${\int }_0^H\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}dx={\mathrm{\pi R}}_0---\left(7\right)$式中，R₀为不受荷载时气球的半径；通过几何方法得由式(3)、式(5)和式(8)知，气球囊布的经向应力N₁和纬向应力N₂大小取决于压差Δp和旋转半径r₂，如果Δp和r₂能够确定，则N₁和N₂也能确定；步骤二、建立描述变形形状的几何模型，给出变形形状函数的具体表达式；不受荷载时，气球为圆形，其半径为R₀、质心为C₀；当受荷载时，为球锥形，即相切的球形和圆锥形的组成，因此，气球受荷载时垂直横截面的形状函数表示为$\left\{\begin{array}{c}{(x-a)}^2=r_2^2=a^2\\ r_2=c(x-H)\end{array}\right.---\left(9\right)$式中，a为形状函数中球形部分的半径，c为形状函数中圆锥形部分的斜率；将式(9)代入(7)中得$\pi a-aarccos\frac{a}{H-a}+\sqrt{H^2-2aH}={\mathrm{\pi R}}_0---\left(10\right)$求解(9)得$x=\frac{a+c^{2}H\pm \sqrt{{(a+c^{2}H)}^2-c^2{H}^2(1+c^2)}}{c^2+1}---\left(11\right)$式(11)的解是描述垂直型横截面形状的函数在A点的横坐标x_A，即形状函数中球形曲线与圆锥形曲线的切点，由此得$x_A=\frac{a+c^{2}H}{c^2+1}---\left(12\right)$由将式(11)和(12)得(a+c²H)²‑c²H²(1+c²)＝0或者$a=cH(\sqrt{1+c^2}-c)---\left(13\right)$将式(13)代入式(9)中得到在A点处的旋转半径为$r_{2A}=\pm \frac{\sqrt{c^{4}H(2a-H)+a^2(1+2c^2)}}{1+c^2}---\left(14\right)$将式(13)代入式(10)中得$H=\frac{{\mathrm{\pi R}}_0}{\pi c(\sqrt{1+c^2}-c)-c(\sqrt{1+c^2}-c)\arccos \frac{c(\sqrt{1+c^2}-c)}{1-c(\sqrt{1+c^2}-c)}+\sqrt{1-2c(\sqrt{1+c^2}-c)}}---\left(15\right)$联立式(12)式、(13)和式(15)，可知，x_A、a和H是关于唯一待定参数c的函数；根据气球、内部气体和荷载组成的系统在重力方向的平衡方程得m＝Vρ‑(m₀+m_G)          (16)式中，V为气球受荷载时的体积，ρ为空气密度，m₀为气球囊布的总质量，m_G为荷载的质量，且g为重力加速度；m为气球内气体的总质量；按照式(9)描述气球受荷载时垂直横截面的形状函数，得气球此时的体积为$V=\frac{1}{3}\pi ({\mathrm{ax}}_A^2-{\mathrm{Hx}}_A^2+2{\mathrm{aHx}}_A)---\left(17\right)$步骤三、建立气球系统的总势能函数；气球受荷载时的质心坐标为$x_c=\frac{-4x_A^4+(10a+2H)x_A^3-(4a+H){\mathrm{Hx}}_A^2+2{\mathrm{aH}}^2{x}_A}{4({\mathrm{ax}}_A^2-{\mathrm{Hx}}_A^2+2{\mathrm{aHx}}_A)}---\left(18\right)$气球不受荷载时的质心为x_c0＝R₀          (19)由式(18)和式(19)得到气球加载前后质心的位移为$\Delta h=x_c-x_{c0}=\frac{-4x_A^4+(10a+2H)x_A^3-(4a+H){\mathrm{Hx}}_A^2+2{\mathrm{aH}}^2{x}_A}{4({\mathrm{ax}}_A^2-{\mathrm{Hx}}_A^2+2{\mathrm{aHx}}_A)}-R_0---\left(20\right)$气球系统的势能为E＝(m+m₀)g·Δh+m_Gg(H‑2R₀)          (21)式中，g为重力加速度；将式(16)代入式(21)得E＝(Vρ‑m_G)g·Δh+m_Gg(H‑2R₀)          (22)气球内部气体的压力表示为$p_1=\frac{{\mathrm{mR}}_{mix}T}{V}---\left(23\right)$式中，R_mix为内部气体的气体常数，T为内部气体的温度；气球内外压差分别表示为$\Delta p=p_1-p_2=\frac{{\mathrm{mR}}_{mix}T}{V}-p_2---\left(24\right)$式中，p₂为空气的压力；气球受荷载时，体积由V₀变化到V的内部气体的势能为$W=\Delta p·V·ln\frac{V}{V_0}=\Delta p·V(\ln V-{\mathrm{lnV}}_0)---\left(25\right)$令气球不受荷载的内部气体体积为在地面自由状态的体积，由式(23)得到$V_0=\frac{{\mathrm{mR}}_{mix}{T}_0}{p_0}---\left(26\right)$式中，T₀和p₀分别为地面空气的温度和压力；将式(24)和式(26)代入式(25)中得$W=({\mathrm{mR}}_{mix}T-p_{2}V)[\ln V-ln\left(\frac{{\mathrm{mR}}_{mix}{T}_0}{p_0}\right)]---\left(27\right)$由式(22)到式(27)，可得气球系统的总势能为$\Pi =E-W=(V\rho -m_G)g\Delta h+m_{G}g·(H-2R_0)-({\mathrm{mR}}_{mix}T-p_{2}V)[\ln V-ln\left(\frac{{\mathrm{mR}}_{mix}{T}_0}{p_0}\right)]---\left(28\right)$由前面的分析可知，气球系统的总势能∏是关于唯一待定参数c的函数；步骤四、根据最小势能原理，求解变形形状函数表达式中的待定参数；待定参数c能使气球系统的总势能∏最小，通过数值方法很容易求得满足该条件的c，当c一定，利用式(13)和式(15)即确定H和a；步骤五、将已经确定的待定参数代入变形形状函数表达式中，即确定气球的变形形状，进而确定囊布的经向应力和纬向应力；利用式(3)、式(5)至式(9)即确定气球的变形形状和囊布的应力；将平流层的大气参数以及气球未受荷载时的几何参数、内部气体参数和荷载代入到模型中，即可预测平流层的气球的变形形状和囊布的应力。