一种多输入多输出系统信道容量的检测方法

摘要

一种多输入多输出系统信道容量的检测方法，主要是为了分析衰落相关及信道物理参数对多输入多输出系统信道容量的影响，将信道矩阵分解为信道衰落相关矩阵与矩阵U之积，矩阵U的元素是服从独立同分布的N(0，1)变量，通过重新建立了衰落相关性的数学模型。分析了存在衰落相关情况下散射角大小及天线间距对信道容量的影响；并利用循环矩阵理论分析推导了M×N多输入多输出系统信道容量的闭式表达。可以得到衰落相关性对多输入多输出系统信道容量的影响。

主权项

1、一种多输入多输出系统信道容量的检测方法，其特征在于：1)首先构建3×3多输入多输出系统的上行链路a)设定移动台端的发射信号为相互独立的，接收天线采用半径为r的UCA天线阵，窄带多输入多输出系统的接收信号向量为y＝Hx+n                                                (1)式中，x＝[x₁，x₂，x₃]^H为3维发射信号向量；y＝[y₁，y₂，y₃]^H为3维接收信号向量；H为3×3信道矩阵；n是均值为0，方差为1的加性高斯白噪声；b)只考虑上行链路，将信道矩阵H分解，得H＝R^1/2U                                               (2)式中R为3×3接收相关矩阵；U的元素是均值为0，方差为1的独立复高斯随机变量；c)测量任意两根天线间的相关系数如果多径信号到达UCA天线阵的散射角为A，且多径信号到达方向在[-A，+A]中均匀分布，对于间距为d的任意两根天线间相关系数为式中 $k=\frac{2\pi }{\lambda }$为波数，为波的平均到达方向角，当A＝π时，(3)式可简为r_i，J＝J₀(kd)                                          (4)对上行链路而言，基站天线架设的比周围散射物要高的多，因此散射角比较小，这样(3)式可简化为不失一般性，令＝0，则上式可以简化为 $r_{i,l}=\frac{\sin \left(\mathrm{kdA}\right)}{\mathrm{kdA}}=\sin c\left(\frac{2\mathrm{\pi dA}}{\lambda }\right)$所以多输入多输出3×3信道接收相关矩阵R为一循环对称矩阵 $R=\left[\begin{array}{ccc}1& \sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)& \sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)\\ \sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)& 1& \sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)\\ \sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)& \sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{c}_0& c_1& c_2\\ c_2& c_0& c_1\\ c_1& c_2& c_0\end{array}\right]---\left(6\right)$d)按下述方法测量多输入多输出3×3信道接收相关矩阵R的特征值；设循环矩阵C有如下形式 $C=\left[\begin{array}{cccccccc}{c}_0& c_1& c_2& c_3& \Lambda & \Lambda & \Lambda & c_{n-1}\\ c_{n-1}& c_0& c_1& c_2& & & & \\ c_{n-2}& & & & O& & & \\ & & & O& O& & & O\\ M& & \Lambda & & O& O& & \\ & & & & & & & c_2\\ c_2& & & & & & c_0& c_1\\ c_1& & & \Lambda & \Lambda & & & c_0\end{array}\right]$即C本身是一个特殊的Toeplitz矩阵，C的特征值ψ_k，特征向量y_k为下式的解，Cy＝ψy上式等价于如下n个方程 $\underset{k=0}{\overset{m-1}{\Sigma }}{c}_{n-m+k}{y}_k+\underset{k=m}{\overset{n-1}{\Sigma }}{c}_{k-m}{y}_k={\mathrm{\psi y}}_m---m=\mathrm{0,1},\Lambda ,n-1$得y_k＝exp(-j2πmk/n)为上式的解，所以，C的特征值为 ${\psi }_m=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}{c}_k\exp (-j2\mathrm{\pi mk}/n)$即得循环矩阵R的特征值为 ${\psi }_m=\underset{k=0}{\overset{2}{\Sigma }}{c}_k\exp (-j2\mathrm{\pi mk}/3)---m=\mathrm{0,1,2}---\left(7\right)$所以有 ${\psi }_0=\underset{k=0}{\overset{2}{\Sigma }}{c}_k=1+c_1+c_2=1+2\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)---\left(8\right)$ ${\psi }_1=\underset{k=0}{\overset{2}{\Sigma }}{c}_k\exp (-j2\mathrm{\pi k}/3)=1-\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)---\left(9\right)$ ${\psi }_2=\underset{k=0}{\overset{2}{\Sigma }}{c}_k\exp (-j4\mathrm{\pi k}/3)=1-\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)---\left(10\right)$2)测量3×3多输入多输出系统的平均信道容量假设接收机已知信道状态，而发射机未知，发射端采用等功率发射，总的发射功率设定为P，则每根发射天线的发射功率为P/3，信道容量可表示为 ${\log }_2\left(\det (I+\frac{P}{3}{\mathrm{HH}}^H)\right)---\left(11\right)$将(2)式代入(11)式可得 $C={\log }_2\left(\det (I+\frac{P}{3}{R}^{1/2}{\mathrm{UU}}^H{R}^{1/2})\right)$ $={\log }_2\left(\det (I+\frac{P}{3}{\mathrm{RUU}}^H)\right)---\left(12\right)$令W＝UU^H，对R和W分别进行特征值分解得 $C={\log }_2\left(\det (I+\frac{P}{3}{\Lambda }_R{\Lambda }_W)\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\log }_2(1+\frac{P}{3}{\psi }_i{\lambda }_i)---\left(13\right)$式中， ${\Lambda }_r=\left[\begin{array}{ccc}{\psi }_0& 0& 0\\ 0& {\psi }_1& 0\\ 0& 0& {\psi }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+2\sin \left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)& 0& 0\\ 0& 1-\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)& 0\\ 0& 0& 1-\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)\end{array}\right]$ ${\Lambda }_W=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right]$式(13)中，λ为W的特征值，λ₁的概率密度函数为式中， $L_k^{n-m}\left(x\right)=\frac{1}{k!}{e}^x{x}^{m-n}\frac{d^k}{{\mathrm{dx}}^k}\left(e^{-x}{x}^{n-m+k}\right)$由式(14)可推得 $P_{{\lambda }_1}\left({\lambda }_1\right)=\frac{1}{3}[1+{(1-{\lambda }_1)}^2+\frac{1}{4}{({\lambda }_1^2-{4\lambda }_1+2)}^2]\exp \left({-\lambda }_1\right)---\left(15\right)$即得多输入多输出系统平均信道容量为 $E\left(C\right)=E\left[{\log }_2(1+\frac{P}{3}(1+\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)){\lambda }_1)\right]+2E\left[{\log }_2(1+\frac{P}{3}(1-\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)){\lambda }_1)\right]$ $=\frac{1}{3}{\int }_0^{\infty }{\log }_2[1+\frac{P}{3}(1+2\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)){\lambda }_1)\left]\right[e^{-{\lambda }_1}(1+{\left({1-\lambda }_1\right)}^2+{({\lambda }_1^2-4{\lambda }_1+2)}^2)]d{\lambda }_1$ $=\frac{2}{3}{\int }_0^{\infty }{\log }_2[1+\frac{P}{3}(1-\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)){\lambda }_1)\left]\right[e^{-{\lambda }_1}(1+{\left({1-\lambda }_1\right)}^2+{({\lambda }_1^2-4{\lambda }_1+2)}^2)]d{\lambda }_1$ $=\frac{-22a^3+14a^2-5a+1}{12a^3\ln 2}+e^{\frac{1}{a}}(\frac{1}{3\ln 2}+\frac{{8a}^2-4a+1}{12\ln {2a}^4})\zeta +\frac{a-1}{3a\ln 2}-\frac{1+{2a}^2}{{3a}^2\ln 2}{e}^{\frac{1}{a}}\zeta ---\left(16\right)$ $+\frac{-22b^3+14b^2-5b+1}{6\ln 2b^3}+e^{\frac{1}{b}}(\frac{2}{3\ln 2}+\frac{{8b}^2-4b+1}{{6b}^4\ln 2})\zeta +\frac{b-1}{3b\ln 2}-\frac{1+{2b}^2}{{3b}^2\ln 2}{e}^{\frac{1}{b}}\zeta ---\left(17\right)$式中， $a=\frac{P}{3}(1+2\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right))---b=1-\sin c\left(\frac{2\mathrm{dA}}{\lambda }\right)$ $\zeta =\gamma -\ln a+\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{1}{i*i!}{(-\frac{1}{a})}^i,$其中γ为欧拉常数。