一种基于直接微分法的输电导线响应敏感性分析方法

摘要

一种基于直接微分法的输电导线响应敏感性分析方法：步骤S1，建立基于DDM直接微分法的输电导线宏观结构响应敏感性计算方法；步骤S2，建立基于DDM直接微分法的输电导线细观结构响应敏感性计算方法；步骤S3，考虑塑性和屈服行为的输电导线非线性响应敏感性计算方法；步骤S4，建立输电导线响应对于其材料、尺寸、外荷载等参数的敏感性计算方法；步骤S5，提出用扰动法计算输电导线响应敏感性的参数扰动范围指标。本方法可以计算具有复杂分层细观结构的输电导线动力响应的敏感性或者梯度，具有不受数值噪音影响、对响应精度要求低、计算速度快---一次计算可以求出对全部参数的敏感性，具有高效、精确、实用的优点，同时对于输电导线响应精度要求不高。

主权项

一种基于直接微分法的输电导线响应敏感性分析方法，其特征是包括以下步骤：步骤S1，建立基于DDM直接微分法的输电导线宏观结构响应敏感性计算方法直接微分法计算过程是在每一时步计算收敛后，对离散后的结构动力平衡方程直接求导，得到公式：$M\left(\theta \right)\stackrel{··}{u}(t,\theta )+C\left(\theta \right)\stackrel{·}{u}(t,\theta )+R\left(u\right(t,\theta ),\theta )=F(t,\theta )---\left(1\right);$式中t为时间，θ为敏感性参数，u(t,θ)为有限元宏观响应，即节点位移，M表示质量，C表示阻尼矩阵，R(u(t,θ),θ)为与应力历史有关的结构反力，F(t,θ)为外力；公式中上标点表示对时间求一阶导，两点表示二阶；对公式(1)使用Newmark‑β法对时间离散得离散后的动力平衡方程：$\Psi \left(u_{n+1}\right)={\tilde{F}}_{n+1}-[\frac{1}{\beta {\left(\Delta t\right)}^2}{\mathrm{Mu}}_{n+1}+\frac{\alpha }{\beta \left(\Delta t\right)}{\mathrm{Cu}}_{n+1}+R\left(u_{n+1}\right)]=0---\left(2\right);$其中公式(2)中Δt表示时间增量，表示n+1时步时的外力,α和β是NewMark积分常数；取α＝1/2，β＝1/4,即为无条件稳定时，Ψ(u_n+1)为残值；$\begin{array}{c}{\tilde{F}}_{n+1}=F_{n+1}+M[\frac{1}{\beta {\left(\Delta t\right)}^2}{u}_n+\frac{1}{\beta \left(\Delta t\right)}{\stackrel{·}{u}}_n-(1-\frac{1}{2\beta }){\stackrel{··}{u}}_n]\\ +C[\frac{\alpha }{\beta \left(\Delta t\right)}{u}_n-(1-\frac{\alpha }{\beta }){\stackrel{·}{u}}_n-\left(\Delta t\right)(1-\frac{\alpha }{2\beta }){\stackrel{··}{u}}_n]\end{array}---\left(3\right);$公式(3)对θ求导，得敏感性分析基本方程：$\begin{array}{c}[\frac{1}{\beta {\left(\Delta t\right)}^2}M+\frac{\alpha }{\beta \left(\Delta t\right)}C+{\left(K_T^{stat}\right)}_{n+1}]\frac{{\mathrm{du}}_{n+1}}{d\theta }=-(\frac{1}{\beta {\left(\Delta t\right)}^2}\frac{dM}{d\theta }+\frac{\alpha }{\beta \left(\Delta t\right)}\frac{dC}{d\theta })u_{n+1}\\ -\frac{\partial R\left(u_{n+1}\right(\theta ),\theta )}{\partial \theta }{|}_{u_{n+1}}+\frac{d{\tilde{F}}_{n+1}}{d\theta }\end{array}---\left(4\right);$公式(4)中代表第n+1时步的刚度矩阵，为宏观位移响应对于θ的敏感性或者梯度，为需要求解的量；为结构内力敏感性，表示节点位移固定；结构内力敏感性计算方法如下：$\frac{\partial \left(R\right(u_{n+1}\left(\theta \right)),\theta )}{\partial \theta }{|}_{u_{n+1}}=\underset{e=1}{\overset{Nel}{A}}\{{\int }_{{\Omega }^{\left(e\right)}}{B}^T\frac{\partial \left(\sigma \right({ϵ}_{n+1}\left(\theta \right)),\theta )}{\partial \theta }{|}_{u_{n+1}}{\mathrm{d\Omega }}^{\left(e\right)}\}---\left(5\right);$其中表示对从e＝1到e＝Nel时的各项集成，B表示应变和应力的关系，B^T表示B的转置；敏感性计算框架中有两个步奏：第一步是求固定位移的内力梯度第二步为求位移不固定条件下导数此项为下一时步计算的基础；求解公式(4)即可得到宏观位移响应的敏感性；步骤S2，建立基于DDM直接微分法的输电导线细观结构响应敏感性计算方法公式(5)中即为输电导线细观分层应力的敏感性；由于输电导线分层应力是从每根输电导线丝集成得到的；输电导线从内到外的第i层每一根输电导线丝的内力为：p_i＝σ_i(ε_i‑ε_iT)A_i   (6)；式中，σ_i(ε_i‑ε_iT)指第i层输电导线丝的应力σ_i是第i层输电导线应变ε_i和温度应变ε_iT的函数，A_i表示第i层导线面积；将这些力在绞线轴向投影叠加后得到输电导线截面的内力表达式：$P\left({ϵ}_0\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{p}_i{n}_i{\mathrm{cos\beta }}_i---\left(7\right);$式中，P表示宏观下绞线截面上受力，n_i表示第i层输电导线丝的数量,β_i表示第i层绞线的旋转角；因此输电导线的等效截面应力为：$\sigma =\frac{P\left({ϵ}_0\right)}{A}---\left(8\right);$将上述公式(6)‑(8)对θ求导：$\frac{\partial p_i}{\partial \theta }=\frac{\partial {\sigma }_i}{\partial \theta }({ϵ}_i-{ϵ}_{iT})A_i+\frac{\partial ({ϵ}_i-{ϵ}_{iT})}{\partial \theta }{\sigma }_i{A}_i+\frac{\partial A_i}{\partial \theta }{\sigma }_i({ϵ}_i-{ϵ}_{iT})---\left(9\right);$$\frac{\partial P\left({ϵ}_0\right)}{\partial \theta }=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(\frac{\partial p_i}{\partial \theta }{n}_i{\mathrm{cos\beta }}_i+\frac{\partial {\mathrm{cos\beta }}_i}{\partial \theta }{p}_i{n}_i)---\left(10\right);$$\frac{\partial \sigma }{\partial \theta }=\frac{1}{{\left(A\right)}^2}(\frac{\partial P\left({ϵ}_0\right)}{\partial \theta }A-\frac{\partial A}{\partial \theta }P({ϵ}_0\left)\right)---\left(11\right);$即得到细观输电导线响应的计算公式；步骤S3，考虑塑性和屈服行为的输电导线非线性响应敏感性计算方法当输电导线丝受拉达到屈服极限后，输电导线丝进入非线性阶段，输电导线丝非线性力学行为用一维von Mises J₂塑性材料模型模拟：弹性预测Δλ^Trial＝0   (12)；${\left({ϵ}_{n+1}^p\right)}^{Trial}={ϵ}_n^p---\left(13\right);$${\alpha }_{n+1}^{Trial}={\alpha }_n---\left(14\right);$${\left({\overline{ϵ}}_{n+1}^p\right)}^{Trial}={\overline{ϵ}}_n^p---\left(15\right);$${\sigma }_{n+1}^{Trial}=E({ϵ}_{n+1}-{ϵ}_n^p)---\left(16\right);$${\sigma }_{y,n+1}^{Trial}={\sigma }_{y,n}---\left(17\right);$DDM方法分析弹性截断敏感性$\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\Delta \lambda \right)=0---\left(18\right);$$\frac{\partial {ϵ}_{n+1}^p}{\partial \theta }=\frac{\partial {ϵ}_n^p}{\partial \theta }---\left(19\right);$$\frac{\partial {\alpha }_{n+1}^{Trial}}{\partial \theta }=\frac{\partial {\alpha }_n}{\partial \theta }---\left(20\right);$$\frac{\partial {\overline{ϵ}}_{n+1}^p}{\partial \theta }=\frac{\partial {\overline{ϵ}}_n^p}{\partial \theta }---\left(21\right);$$\frac{\partial {\sigma }_{n+1}}{\partial \theta }=E(\frac{\partial {ϵ}_{n+1}}{\partial \theta }-\frac{\partial {ϵ}_n^p}{\partial \theta })+\frac{\partial E}{\partial \theta }({ϵ}_{n+1}-{ϵ}_n^p)---\left(22\right);$$\frac{\partial {\sigma }_{y,n+1}}{\partial \theta }=\frac{\partial {\sigma }_{y,n}}{\partial \theta }---\left(23\right);$塑性纠正阶段$\Delta \lambda =\frac{\left|{\sigma }_{n+1}^{Trial}-{\alpha }_{n+1}^{Trial}\right|-{\sigma }_{y,n}}{E+H_{iso}+H_{kin}}---\left(24\right);$$\begin{array}{c}{\sigma }_{n+1}={\sigma }_{n+1}^{Trial}-E\\ \times \Delta \lambda \times \mathrm{sgn}({\sigma }_{n+1}-{\alpha }_{n+1})\end{array}---\left(25\right);$$\begin{array}{c}{\alpha }_{n+1}={\alpha }_{n+1}^{Trial}+H_{kin}\\ \times \Delta \lambda \times \mathrm{sgn}({\sigma }_{n+1}-{\alpha }_{n+1})\end{array}---\left(26\right);$σ_y,n+1＝σ_y,n+H_iso×Δλ   (27)；$\begin{array}{c}\frac{\partial \left(\Delta \lambda \right)}{\partial \theta }=\frac{(E+H_{iso}+H_{kin})\times \left(\right(\frac{\partial {\sigma }_{n+1}^{Trial}}{\partial \theta }-\frac{\partial {\alpha }_{n+1}^{Trial}}{\partial \theta })\times n_{n+1}-\frac{\partial {\sigma }_{y,n}}{\partial \theta })}{{(E+H_{iso}+H_{kin})}^2}\\ -\frac{(\frac{\partial E}{\partial \theta }+\frac{\partial H_{iso}}{\partial \theta }+\frac{\partial H_{kin}}{\partial \theta })\times \left(\right({\sigma }_{n+1}^{Trial}-{\alpha }_{n+1}^{Trial})\times n_{n+1}-{\sigma }_{y,n})}{{(E+H_{iso}+H_{kin})}^2}\end{array}---\left(28\right);$其中$\frac{\partial {\sigma }_{n+1}^{Trial}}{\partial \theta }=E\times (\frac{\partial {ϵ}_{n+1}}{\partial \theta }-\frac{\partial {ϵ}_n^p}{\partial \theta })+\frac{\partial E}{\partial \theta }\times ({ϵ}_{n+1}-{ϵ}_n^p)---\left(29\right);$$\frac{\partial {\sigma }_{n+1}}{\partial \theta }=E(\frac{\partial {ϵ}_{n+1}}{\partial \theta }-\frac{\partial {ϵ}_n^p}{\partial \theta })+\frac{\partial E}{\partial \theta }({ϵ}_{n+1}-{ϵ}_n^p)---\left(30\right);$$\frac{\partial {\alpha }_{n+1}}{\partial \theta }=\frac{\partial {\alpha }_n}{\partial \theta }+\frac{\partial H_{kin}}{\partial \theta }·\left(\Delta \lambda \right)·n_{n+1}+H_{kin}.\frac{\partial \left(\Delta \lambda \right)}{\partial \theta }·n_{n+1}---\left(31\right);$$\frac{\partial {\sigma }_{y,n+1}}{\partial \theta }=\frac{\partial {\sigma }_{y,n}}{\partial \theta }+\frac{\partial H_{iso}}{\partial \theta }\times \Delta \lambda +H_{iso}\times \frac{\left(\Delta \lambda \right)}{\partial \theta }---\left(32\right);$以上公式中λ为一致性参数，而是离散连续的参数，中上标Trail表示试算、下标n+1表示处于时间t_n+1时的变量，(…)_y下标y表示出于屈服时的变量，另外α表示背应力，ε^e表示弹性部分的应变，ε^p表示塑性部分的应变，，E表示材料的杨氏模量，公式(28)中n_n+1代表(σ_n+1‑α_n+1)的正负号，其下标n+1表示在n+1时步；定义屈服函数如下：$f(\sigma ,\alpha ,{\overline{ϵ}}^p)=\left|\sigma -\alpha \right|-({\sigma }_{y0}+H_{iso}{\overline{ϵ}}^p)---\left(33\right);$若{f≤0}则材料为线弹性，公式(12)到公式(17)即为计算结果，否则进入塑性纠正阶段；公式(24)中H_kin和H_iso表示等向硬化模型参数，公式(25)中sgn(x)表示x的符号；步骤S4，建立输电导线响应对于其材料、尺寸、外荷载等参数的敏感性计算方法S4‑1，输电导线响应关于材料敏感性分析从公式(5)有$\frac{\partial \left(R\right(u_{n+1}\left(\theta \right)),\theta )}{\partial \theta }{|}_{u_{n+1}}=\underset{e=1}{\overset{Nel}{A}}\{{\int }_{{\Omega }^{\left(e\right)}}{B}^T\frac{\partial \left(\sigma \right({ϵ}_{n+1}\left(\theta \right)),\theta )}{\partial \theta }{|}_{u_{n+1}}{\mathrm{d\Omega }}^{\left(e\right)}\};$基于材料本构关系，计算比如上式表示对从e＝1到e＝Nel时的各项集成，公式(24)和(32)可以计算弹塑性材料的应力敏感性；将应力敏感性代回到公式(5)则有即为输电导线内力响应对材料的敏感性；S4‑2，输电导线响应关于几何尺寸敏感性当敏感性参数θ为坐标x时，不可忽略，x为输电导线位置的坐标，其值大小为输电导线内力对几何位置、尺寸的敏感性；另外，输入的参数和根据已知能确定的初始条件在导线响应敏感性分析过程中即为边界条件；S4‑3，输电导线响应关于外力的敏感性公式(4)中项中包括了外力的敏感性，当敏感性参数θ为外力时，计算结果为输电导线关于外力的敏感性。