基于剃齿修形的啮合角计算方法

摘要

本发明公开了一种基于剃齿修形啮合角计算的史蒂芬森-牛顿类迭代法，是剃齿刀修形技术领域的首次应用，针对目前端面啮合角普遍采用近似的计算方法，可以得到啮合角值的最优解，可避免端面啮合角计算值误差所导致啮合线长的计算误差，使剃齿刀修形位置计算更为准确，有效地保证消除剃齿“齿形中凹”的工艺效果。

主权项

1.一种基于剃齿修形啮合角的计算方法，其特征在于：将被剃齿轮的各个参数设为：齿数Z₁、法向模数m_n1、分度圆法向压力角α_n1、分度圆螺旋角β₁、分度圆法向弧齿厚渐开线终止点曲率半径ρ_max1、渐开线起始点曲率半径ρ_min1、剃齿超越量δ；将剃齿刀的各个参数设为：齿数Z₀、法向模数m_n0、分度圆法向压力角α_n0、分度圆螺旋角β₀、分度圆法向弧齿厚交错轴圆柱齿轮无侧隙啮合时，节圆法向节距P_jn与被剃齿轮、剃齿刀节圆的法向弧齿厚存在以下关系：$P_{\mathrm{jn}}={\stackrel{\cap }{S}}_{\mathrm{jn}1}+{\stackrel{\cap }{S}}_{\mathrm{jn}0};---\left(1\right)$一对螺旋齿轮啮合时，其节圆法向压力角相等，即α_jn＝α_jn1＝α_jn0，其中：α_jn表示节圆法向压力角；α_jn1表示被剃齿轮节圆法向啮合角；α_jn0表示剃齿刀节圆法向啮合角；经推导代入，式（1）可表示为：$\pi m_n={\stackrel{\cap }{S}}_{n1}+{\stackrel{\cap }{S}}_{n0}+m_n[Z_1{\mathrm{inv\alpha }}_{t1}+Z_0{\mathrm{inv\alpha }}_{t0}-Z_1{\mathrm{inv\alpha }}_{\mathrm{jt}1}-Z_0\mathrm{inv}\left(\arcsin \left(\sin {\alpha }_{\mathrm{jt}1}\frac{\cos {\beta }_{b1}}{\cos {\beta }_{b0}}\right)\right)]---\left(2\right)$式中：m_n-法向模数；inv（*）-渐开线函数；α_t1-被剃齿轮端面啮合角；α_t0-剃齿刀端面啮合角；α_jt1-被剃齿轮节圆端面啮合角；β_b1-被剃齿轮基圆螺旋角；β_b0-剃齿刀基圆螺旋角；令：$\begin{array}{c}f\left({\alpha }_{\mathrm{jt}1}\right)={\stackrel{\cap }{S}}_{n1}+{\stackrel{\cap }{S}}_{n0}\\ +m_n[Z_1\mathrm{inv}{\alpha }_{t1}+Z_0\mathrm{inv}{\alpha }_{t0}-Z_1\mathrm{inv}{\alpha }_{\mathrm{jt}1}-Z_0\mathrm{inv}\left(\arcsin \left(\sin {\alpha }_{\mathrm{jt}1}\frac{\cos {\beta }_{b1}}{\cos {\beta }_{b0}}\right)\right)]-\pi m_n\end{array}---\left(3\right)$由于式（3）为一阶多维非线性超越方程，具有复杂性，其微分在定义域内不能保证，必须要给出含参变量不带导数的二阶迭代法，用于求解此类超越方程；结合牛顿迭代法求解精确性和史蒂芬森迭代法求解快速性，提出史蒂芬森-牛顿类迭代法，用于式（3）端面啮合角值最优解的计算，可以解决式（3）求解时需要二阶求导的技术难题，更加快速准确获得端面啮合角值的最优解；若方程f(x)＝0，方程f(x)在其零点x₀处的领域内连续可微，并且f'(x)≠0；若x_k为f(x)＝0方程的近似解，根据牛顿迭代法公式：$x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\prime }\left(x_k\right)}---\left(4\right)$为了求式（3）的数值解x^*，令h(x)＝e^uxf(x)，u∈R则数值解x^*也是h(x)＝0的解；引入自治微分方程：$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=-\frac{h\left(x\right)}{h^{\prime }\left(x\right)}=-\frac{f\left(x\right)}{\mathrm{uf}\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)}\\ \begin{array}{cc}x\left(0\right)=x_0& x_0\in U\left(x^{*}\right)\end{array}\end{array}\right.---\left(5\right)$其中U(x^*)表示的是数值解x^*的领域；应用欧拉法:$\left\{\begin{array}{c}y\left(x_0\right)=y_0\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=f(x,y)\end{array}\right.x\in (a,b)---\left(6\right)$将式（6）定义域分为n段,$\frac{(y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_i\right))}{h_n}=f(x_i,y\left(x_i\right))---\left(7\right)$由（7）式可以得出：y_i+1＝y_i+h_nf(x_i,y_i)   （8）综合式（4）、式（5）、式（8）得到：$x_{n+1}=x_n-h_n\frac{f\left(x_n\right)}{[\mathrm{uf}\left(x_n\right)+f^{\prime }\left(x_n\right)]}---\left(9\right)$式中：u-修正系数，取值为0～1；h_n-第n次步长；根据端面啮合角值求解的精确度要求，可对式（9）中的u进行重新选择，可以使求解过程更稳定，数值解趋于最优解；利用差商公式$f^{\prime }\left(x_n\right)=\frac{f(x_n+h_k)-f\left(x_n\right)}{h_k}---\left(10\right)$h_k的选取不同，可以得到不同的Newton迭代法变形的离散化方法，取h_k＝f(x_n)及式（10）代入式（9），就得到用于端面啮合角值计算的史蒂芬森-牛顿类迭代法公式：$x_{n+1}=x_n-\frac{f^2\left(x_n\right)}{[u_n{f}^2\left(x_n\right)+f(x_n+f\left(x_n\right))-f\left(x_n\right)]}---\left(11\right)$式中：u_n-第n次修正系数，取值为0～1。