一种参数系统的模型降阶方法

摘要

本发明属微机电MEMS和电子技术领域。具体为一种带有参数的系统模型降阶方法。模型降阶技术是一类有效提高系统模型模拟和验证速度的技术，以便对电路或器件的设计方案及时加以改进。本发明建立了针对参数系统的模型降阶方法。它通过对参数系统的传递函数进行多级数展开来逐层构造子投影矩阵，通过对子投影矩阵正交化构建投影矩阵。用此投影矩阵实现对原参数系统降阶，得到的降阶系统不依赖于系统参数的某个特殊取值，从而对参数不同取值都能保持降阶的精度。相对传统的降阶方法，本发明的降阶精度和降阶效率都大大提高。

主权项

1、一种参数系统的模型降阶方法，该参数系统具有如下形式： $\begin{array}{c}C\frac{\mathrm{dx}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+(G+\mathrm{kD})x\left(t\right)=\mathrm{Bu}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Ex}\left(t\right)\end{array}---\left(1\right)$其中，x(t)为系统的N维状态变量，矩阵C，D，G∈R^N×N，E∈R^p×N，B∈R^N×l是系统矩阵，通过对电路或者器件进行离散建模得到，u(t)∈R^l，在电路中是进入电路的输入信号变量，l表示电路中输入端口的数目，在微机电领域u(t)是1；y(t)∈R^p，在电路中是描述电路的输出信号的变量，p表示输出端口的数目，在微机电中是器件中某些部位的温度的值，k为可变的参数；其特征在于对参数系统(1)的频域传递函数进行多级数展开，具体步骤如下：第一步，对参数系统(1)进行Laplace变换，得到：sCX(s)+(G+kD)X(s)＝BU(s)Y(s)＝EX(s)这里s是频域变量。第二步：求出系统的传递函数：H(s)＝E(sC+G+kD)^-1B第三步：将传递函数H(s)关于s和k进行级数展开：(1)、将H(s)在s₀＝0点展开成s的级数： $H\left(s\right)=E{(\mathrm{sC}+G+\mathrm{kD})}^{-1}B=E{[I-(-{(G+\mathrm{kD})}^{-1}\mathrm{Cs})]}^{-1}{(G+\mathrm{kD})}^{-1}B$ $=E\underset{j=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}[-{(G+\mathrm{kD})}^{-1}C{]}^j{(G+\mathrm{kD})}^{-1}B{s}^j=E\underset{j=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}{\tilde{M}}_j{s}^j$其中与参数k有关；(2)、进一步将在k₀＝0点展开成关于k的级数： ${\tilde{M}}_j={(-1)}^j\underset{i_j=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\underset{i_{j-1}=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}···\underset{i_1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\underset{=0i_0=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}[{(-G^{-1}D)}^{i_j}{G}^{-1}C{\left({-G}^{-1}D\right)}^{i_{j-1}}$ $G^{-1}C···{(-G^{-1}D)}^{i_1}{G}^{-1}C{\left({-G}^{-1}D\right)}^{i_0}{G}^{-1}B]k^{i_j}{k}^{i_{j-1}}···k^{i_0}$j＝0，1，…，m；第四步：构建投影矩阵V：(1)、根据构建投影矩阵V₀： $\mathrm{spanol}\left\{V_0\right\}=K_{i_0}({-G}^{-1}D,G^{-1}B)$(2)、根据构建投影矩阵V₁： $B_1=C[G^{-1}B,\left({-G}^{-1}D\right)G^{-1}B,···{\left({-G}^{-1}D\right)}^{q_{i_0}}{G}^{-1}B]$ $\mathrm{spancol}\left\{V_1\right\}=K_{i_1}({-G}^{-1}D,G^{-1}{B}_1)$(3)、根据构建投影矩阵V₂： $B_2=C[G^{-1}{B}_1,{-G}^{-1}D{G}^{-1}{B}_1,···,{\left({-G}^{-1}D\right)}^{q_{i_1}}{G}^{-1}{B}_1]$ $\mathrm{spancol}\left\{V_2\right\}=K_{i_2}({-G}^{-1}D,G^{-1}{B}_2)$(4)、类似地构建矩阵V_j： $B_j=C\left[\right(G^{-1}{B}_{j-1},-G^{-1}{\mathrm{DG}}^{-1}{B}_{j-1},···,{\left({-G}^{-1}D\right)}^{q_{i_{j-1}}}{G}^{-1}B]$ $\mathrm{spancol}\left\{V_j\right\}=K_{i_j}({-G}^{-1}D,G^{-1}{B}_j)$j＝1，2，…，m(5)、构建统一的投影矩阵V：计算V₁，V₂，…，V_m的并集： $\hat{V}=V_{1}U{V}_{2}U...{\mathrm{UV}}_m,$再构建V：V中的列向量由中所有列向量经正交化处理后得到；第五步：对参数系统(1)进行投影降阶，首先作近似的变量替换x≈Vz，得到 $\begin{array}{c}C\frac{\mathrm{dVz}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+\mathrm{GVz}\left(t\right)+\mathrm{kDVz}\left(t\right)=\mathrm{Bu}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{EVz}\end{array}---\left(11\right)$两边分别乘V^T，得到最后降阶系统： $\begin{array}{c}\hat{C}\frac{\mathrm{dz}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+\hat{G}z\left(t\right)+k\hat{D}z\left(t\right)=\hat{B}u\left(t\right)\\ \hat{y}\left(t\right)=\widehat{\mathrm{Ez}}\left(t\right)\end{array}---\left(12\right)$其中 $\hat{C}=V^T\mathrm{CV},\hat{G}=V^T\mathrm{GV},\hat{D}=V^T\mathrm{DV},\hat{B}=V^{T}B,\hat{E}=\mathrm{EV}.$