一种右截尾型寿命数据分布选择方法

摘要

一种右截尾型寿命数据分布选择方法，该方法有五大步骤：步骤一：初步选取几种备选寿命分布；步骤二：分别求出备选寿命分布中参数的极大似然估计步骤三：分别求出备选寿命分布对数似然函数的极大值；步骤四：分别求出各个备选寿命分布的AIC-BIC值；步骤五：根据信息量最小原则进行分布选择，优先考虑AIC值最小的模型或优先考虑BIC值最小的模型，作为右截尾型产品寿命试验数据的寿命分布。本发明为可靠性工程中的数据分布选择工作提供一种实用方法，它为工程中的可靠性评估提供了技术支持。

主权项

1.一种右截尾型寿命数据分布选择方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：步骤一：根据常用寿命分布的性质，选取备选寿命分布，即：指数分布、威布尔分布、正态分布和对数正态分布；产品寿命是指从开始工作到首次发生失效的工作时间，它是一个在[0,+∞)上取值的连续随机变量，用T表示；它的分布又称失效分布或寿命分布，其分布函数F(t)=F(t;θ)=P(T≤t)称为累积失效分布函数，其中θ=(θ₁,θ₂,…,θ_k)是分布函数中未知参数矢量，θ₁,θ₂,…,θ_k是分布函数的k个未知参数；其概率密度f(t)=F′(t)又称为失效概率密度函数；它的可靠度函数为R(t)=P(T≥t)；t表示开始工作时间，t=0；1）指数分布指数分布概率密度函数为：$f(t;\lambda )=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\lambda e}}^{-\mathrm{\lambda t}},& t\ge 0,\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(1\right)$则其累积分布函数为：$F(t;\lambda )=\left\{\begin{array}{cc}{1-e}^{-\mathrm{\lambda t}},& t\ge 0,\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(2\right)$其中含有1个参数λ>0；2）威布尔分布威布尔分布概率密度函数为：$f(t;\eta ,m)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{m}{\eta }{\left(\frac{t}{\eta }\right)}^{m-1}{e}^{{-(t/\eta )}^m},& t\ge 0;\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(3\right)$则其累积分布函数为：$F(t;\eta ,m)=1-e^{{-(t_i/\eta )}^m}---\left(4\right)$其中含有2个参数，尺度参数η>0，形状参数m>0；3）正态分布正态分布概率密度函数为：$f(t;{\mu }_1,{\sigma }_1)=\frac{1}{{\sigma }_1\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(t-{\mu }_1)}^2/{{2\sigma }_1}^2},-\infty <t<+\infty .---\left(5\right)$其中含有2个参数，均值μ₁，标准差σ₁>0；4）对数正态分布对数正态分布概率密度函数为：$f(t;{\mu }_2,{\sigma }_2)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mathrm{t\sigma }}_2\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(\mathrm{int}-{\mu }_2)}^2/{{2\sigma }_2}^2,}& t>0;\\ 0,& t\le 0.\end{array}\right.---\left(6\right)$其中含有2个参数，对数均值μ₂，对数标准差σ₂>0；步骤二：根据右截尾型产品寿命试验数据，分别求出步骤一中备选寿命分布中参数的极大似然估计上述备选寿命分布参数极大似然估计值的求法如下：1）指数分布的似然函数是$L\left(\lambda \right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left(\mathrm{\lambda exp}\right\{-{\mathrm{\lambda t}}_i\left\}\right)}^{1-{\delta }_i}{\left(\exp \right\{-{\mathrm{\lambda t}}_i)}^{{\delta }_i}---\left(7\right)$其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得（10）式中L(λ)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是指数分布参数λ的极大似然估计；2）威布尔分布的似然函数是$L(\eta ,m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{m}{\eta }{\left(\frac{t_i}{\eta }\right)}^{m-1}{e}^{{-(t_i/\eta )}^m}\right]}^{1-{\delta }_i}{\left[e^{{-(t_i/\eta )}^m}\right]}^{{\delta }_i}---\left(8\right)$其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得（11）式中L(η,m)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是威布尔分布参数（η,m）的极大似然估计；3）正态分布的似然函数是$L({\mu }_1,{\sigma }_1)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{1}{{\sigma }_1\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(t_i-{\mu }_1)}^2/{{2\sigma }_1}^2}\right]}^{1-{\delta }_i}{[1-\Phi \left(\frac{t_i-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)]}^{{\delta }_i}---\left(9\right)$其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得（12）式中L(μ₁,σ₁)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是正态分布参数（μ₁,σ₁）的极大似然估计；4）对数正态分布的似然函数是$L({\mu }_2,{\sigma }_2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{1}{t_i{\sigma }_2\sqrt{2\pi }}{e}^{{-(t_i-{\mu }_2)}^2/2{{\sigma }_2}^2}\right]}^{1-{\delta }_i}{[1-\Phi \left(\frac{{\ln t}_i-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)]}^{{\delta }_i}---\left(10\right)$其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得（13）式中L(μ₂,σ₂)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是对数正态分布参数（μ₂,σ₂）的极大似然估计；步骤三：分别把各个备选寿命分布的未知参数θ的极大似然估计代入对应寿命分布的似然函数L(θ)及对数似然函数l(θ)=lnL(θ)中，则分别是各个备选寿命分布似然函数L(θ)的极大值，分别是各个备选寿命分布对数似然函数lnL(θ)的极大值；上述备选寿命分布极大似然函数值L(θ)的求法如下：1）指数分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是$L\left(\hat{\lambda }\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left(\hat{\lambda }\exp \right\{-\hat{\lambda }{t}_i\left\}\right)}^{1-{\delta }_i}{\left(\exp \right\{-\hat{\lambda }{t}_i\left\}\right)}^{{\delta }_i}---\left(11\right)$$l\left(\hat{\lambda }\right)=\ln L\left(\hat{\lambda }\right)---\left(12\right)$其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是指数分布参数λ的极大似然估计；指数分布的对数似然函数极大值是即取指数分布的极大似然函数值的对数值；2）威布尔分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是$L(\hat{\eta },\hat{m})=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{\hat{m}}{\hat{\eta }}{\left(\frac{t_i}{\hat{\eta }}\right)}^{\hat{m}-1}{e}^{-{(t_i/\hat{\eta })}^{\hat{m}}}\right]}^{1-{\delta }_i}{\left[e^{-{(t_i/\hat{\eta })}^{\hat{m}}}\right]}^{{\delta }_i}---\left(13\right)$$(\hat{\eta },\hat{m})=\ln L(\hat{\eta },\hat{m})---\left(14\right)$其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是威布尔分布参数（η,m）的极大似然估计；威布尔分布的对数似然函数极大值是即取威布尔分布的极大似然函数值的对数值；3）正态分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是$L({\hat{\mu }}_1,{\hat{\sigma }}_1)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{1}{{\hat{\sigma }}_1\sqrt{2\pi }}{e}^{{-(t_i-{\hat{\mu }}_1)}^2/2{{\hat{\sigma }}_1}^2}\right]}^{1-{\delta }_i}{[1-\Phi \left(\frac{t_i-{\hat{\mu }}_1}{{\hat{\sigma }}_1}\right)]}^{{\delta }_i}---\left(15\right)$$l({\hat{\mu }}_1,{\hat{\sigma }}_1)=\ln L({\hat{\mu }}_1,{\hat{\sigma }}_1)---\left(16\right)$其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是正态分布参数（μ₁,σ₁）的极大似然估计；正态分布的对数似然函数极大值是即取正态分布的极大似然函数值的对数值；4）对数正态分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是$L({\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{1}{t_i{\hat{\sigma }}_2\sqrt{2\pi }}{e}^{{-(t_i-{\hat{\mu }}_2)}^2/2{{\hat{\sigma }}_2}^2}\right]}^{1-{\delta }_i}{[1-\Phi \left(\frac{{\ln t}_i-{\hat{\mu }}_2}{{\hat{\sigma }}_2}\right)]}^{{\delta }_i}---\left(17\right)$$l({\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_2)=\ln L({\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_2)---\left(18\right)$其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是对数正态分布参数（μ₂,σ₂）的极大似然估计；对数正态分布的对数似然函数极大值是即取对数正态分布的极大似然函数值的对数值；步骤四：根据步骤三中的备选寿命分布的似然函数极大值及对数似然函数极大值分别求出各个备选寿命分布的AIC-BIC值；上述各个备选寿命分布AIC-BIC值的求法如下：1）指数分布的AIC-BIC值是$\mathrm{AIC}={2k}_1-2\ln L\left(\hat{\lambda }\right)={2k}_1-2l\left(\hat{\lambda }\right),$                                               (19)$\mathrm{BIC}=k_1\ln \left(n\right)-2\ln L\left(\hat{\lambda }\right)=k_1\ln \left(n\right)-2l\left(\hat{\lambda }\right),$其中，k₁=1是指数分布中未知参数个数，是指数分布的对数似然函数极大值，是指数分布的极大似然函数值，是指数分布参数λ的极大似然估计；2）威布尔分布的AIC-BIC值是$\mathrm{AIC}={2k}_2-2\ln L(\hat{\eta },\hat{m})={2k}_2-2l(\hat{\eta },\hat{m}),$                                                       (20)$\mathrm{BIC}=k_2\ln \left(n\right)-2\ln L(\hat{\eta },\hat{m})=k_2\ln \left(n\right)-2l(\hat{\eta },\hat{m}),$其中，k₂=2是威布尔分布中未知参数个数，是威布尔分布的对数似然函数极大值，是威布尔分布的极大似然函数值，是威布尔分布参数（η,m）的极大似然估计；3）正态分布的AIC-BIC值是$\mathrm{AIC}={2k}_3-2\ln L({\hat{\mu }}_1,{\hat{\sigma }}_1)={2k}_3-2l({\hat{\mu }}_1,{\hat{\sigma }}_1),$                                       (21)$\mathrm{BIC}=k_3\ln \left(n\right)-2\ln L({\hat{\mu }}_1,{\hat{\sigma }}_1)=k_3\ln \left(n\right)-2l({\hat{\mu }}_1,{\hat{\sigma }}_1),$其中，k₃=2是正态尔分布中未知参数个数，是正态尔分布的对数似然函数极大值，是正态尔分布的极大似然函数值，是正态分布参数(μ₁,σ₁)的极大似然估计；4）对数正态分布的AIC-BIC值是$\mathrm{AIC}={2k}_4-2\ln L({\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_2)={2k}_4-2l({\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_2),$                                            (22)$\mathrm{BIC}=k_4\ln \left(n\right)-2\ln L({\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_2)=k_4\ln \left(n\right)-2l({\hat{\mu }}_2,{\hat{\sigma }}_2),$其中，k₄=2是对数正态尔分布中未知参数个数，是对数正态尔分布的对数似然函数极大值，是对数正态尔分布的极大似然函数值，是对数正态分布参数(μ₂,σ₂)的极大似然估计；步骤五：根据赤池信息量-贝叶斯信息量最小原则进行分布选择，在备选寿命分布中，选择AIC值最小并且BIC值最小的备选寿命分布模型，作为右截尾型产品寿命试验数据的寿命分布。